微积分II真题含答案
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2020-07-01
微积分II真题含答案
一、填空题（每题3分，共30分）
1、函数的定义域是____________.
2、设
，则________________.
3、广义积分的敛散性为_____________.
4、____________
.
5、若
.
6、微分方程
的通解是
____.
7、级数
的敛散性为
.
8、
已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.
9、交换
的积分次序=
.
10、微分方程
的阶数为
_____阶.
二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列级数收敛的是（
）
A，
B，
C，
D，2、，微分方程的通解为（）
A，
B，
C，
D，
3、设D为：，二重积分=（
）
A,
B,C,
D，0
4、
若
A,B,
C,D,
5、=（）A,
0
B,
1
C,
2D,
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
1．已知
2.
求，其中D是由
，x=1和x轴围成的区域。
3.
已知z=f(x,y)由方程确定，求
4.判定级数的敛散性.
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由
和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）
1,
2，3，发散4，0
5，
6，y=cx7，收敛8，R(x)=x3+1000x9，
10，2
二、单选题（每小题3分，共15分）
1，B
2，B3，C
4，C
5，D
三、计算题（每小题8分，共32分）
1、
解：
令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别
的敛散性，
（2分）收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1、解：2、
解：约束条件为200x+400y-100000=0
（2分）
构造拉格朗日函数，
（4分）
,求一阶偏导数，
（6分）
得唯一解为：，
（8分）
根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230.
（9分）
五、证明题（5分）
证明：设对等式两边积分，得：（2分）
（4分）
解得：
题设结论得证。
（5分）
一、填空题（每题2分，共20分）
1、函数的定义域是_______
2、__________
3、_______
4、若___________
5、设可微，则
6.
已知满足方程则
_______
7、交换的积分次序=__________________
8、级数__________
9、若级数的收敛，则k的取值范围是
10、微分方程的通解是
____
二、单选题（每题2分，共10分）
1、若广义积分，则k=（
）
A，B，
C，
D，2、若满足方程，则
（
）
A，
0B，1
C，
D，
3、设D为：，二重积分=____________
A,
B,
C,
D，
4、下列级数发散的是(
)
A,B，
CD5、微分方程的阶数为
（
）
A,1
B，2C
3D
4
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
2.
已知，求
3.
计算二重积分，其中D由，，及所围成。
4.求一阶线性微分方程的通解.
5．
判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
6．
计算定积分。
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1
，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
五、证明题（4分）
证明：
一、填空题（每题2分，共20分）
1、，
2、
，
3、0
，
4、
，
5、0
，6.
7、
，8、2
9、
，10、
（c为任意常数）
二、单选题（每题2分，共10分）
1、D
2、D，
3、
C,4
、B，
5、C
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
解：
--------
4分-----------8分
2.
已知，求
解：两边去自然对数，
两边关于x求偏导数，，
---------
4分
整理得所以------------
8分
3.
计算二重积分，其中D由，，及所围成。
解：画图（2分），
Y-型，
-----------
4
分
-------------
8分4.求一阶线性微分方程的通解.
解：方法1：
直接算，，，
方法2：原方程可以化为
，
，
直接代入公式，
------------
4
分
（c为任意常数）
--------------
8分
5．这是一个交错级数，一般项为。
先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。
----------------2’----------------------------------4’----------------------------------6’
根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。-----------------------------8’
6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则=2
----------------------------------2’
=--------------------------------4’
=
--------------------------------6’
==
--------------------------------8’四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：画图（2分）
-----------------
5分
=
----------------
9分
2.
某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1
，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
解：由题意知，收入函数为利润函数
构造拉格朗日函数，
-------------
5分
，解得
----------------
9分
五、证明题（4分）
利用级数的敛散性，证明：
证明：先证明级数收敛，用比值判别法
，所以级数收敛
由级数收敛的必要条件知道，，即一、填空题（每小题3分，共15分）
1．
设,则=
.
2．
当
时,
收敛.
3．
交换积分次序
.
4．
已知级数收敛,则=
.
5．
若，其中具有二阶偏导数，则=
.
二、
单选题（每小题3分，共15分）
1．().
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).
2.
函数在上可积的必要条件是在上（
）
（A）连续
;
（B）有界;
（C）
无间断点;(D)有原函数.
3．下列反常积分收敛的是()
(A);
(B)
;
(C)
;
(D)
.
4．下列级数发散的是().
(A)
;
(B)
;(C)
;(D)
.5．
微分方程的通解是(
)
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).
三、计算题I（每题6分，共24分）
1.求.
2.设,求.
3.
求，其中D由围成.
4.
判别级数的敛散性.四、计算题II（每题8分，共24分）
5.
求.
6.
设由方程确定,其中可微,求.
7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题8分，共16分）
1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.
2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)
已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总
利润最大?最大利润是多少?六、证明题（6分）
证明：若收敛，则发散.
一、1.;
2.;
3.;
4.;
5.
.
二、BBACD
三、1.解:原式=
(3分).
(6分)
2.解:(2分)
(4分)(6分)
3.
解：原式=
（2分）（4分）.（6分）4.解:记,取(4分)
又
收敛故原级数收敛.
(6分)
四、5．解：令，即，则
当时，
（2分）
故原式（4分）（6分）
.
（8分）
6．解：记
（4分）
（8分）
7．解：原方程可化为------一阶线性微分方程此时，（2分）
故原方程的通解为
（4分）
（6分）
由,得
从而，所求原方程的特解为
.
（8分）
五、1.
解：1>
故所求图形的面积为
（4分）
2>所求旋转体的体积为
（5分）.
（8分）
2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为
(万元).
(8分)
六、证明：证明：由于
（3分），
又因为
收敛，
故收敛，从而，绝对收敛.
（6分）
1．
函数的定义域是
.
2．.
3．
若___________.
4．
设有连续的二阶偏导数，则
.
5．
=.
6．
广义积分收敛，则.
7．
交换积分次序=
.
8．
设D为所围区域，则
.
9．
=
.
10.
方程是
阶微分方程
.三、
单选题（每小题3分，共15分）
1．广义积分收敛于().
A.0
;
B.
;
C.
;
D..
2.
设积分区域D是（）.
A.;B.;C.;
D..3．下列级数中条件收敛的是（）.
A.;
B.;
C.;
D..
4．设，其中可微，则（）
A.
;
B.
C.
D.
5．微分方程的通解是（
）。
A.
;B.
;
C.;
D.
.
三、计算题（每题8分，共32分）
1.求.
2.设D由曲线围成,求
3.
已知，求.
4.
判别级数的敛散性.
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.设D由与所围成，求：（1）平面图形的面积；（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。
五、证明题（5分）
设，其中F可微。证明：一.
1.;
2.
0
;
3.
;
4.
；5.
0
;
6.
;
7.
;
8.
2(2ln2-1);
9.
1；
10.
2.
二.C
A
D
C
B
三.1.解:原式=
(3分)(6分)(8分)
2．解:画积分区域草图，联立方程求交点得：，（2分）
原式=.
(4分)（5分）
（8分）
3.解:
令，则
(3分)(5分)
(8分)
4.解:用比值判别法
(2分)
(4分)
(6分)原级数收敛.(8分)
四.1.
解：(1)，
（2分）
故所求图形的面积为
（5分）
(2)所求旋转体的体积为
.
（9分）
2.解:由需求函数x,y得：
，
利润函数=
=(2分)作辅助函数
=
(4分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为
(9分)
五．证明：（3分），
.（5分）故等式成立。一、填空题（每小题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.设域是，则
.
3.交换积分次序.
4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性
，对资本的偏弹性
.
5.设
.
6.若则
.
7.当满足条件
时收敛。
8.微分方程的通解为
.
9.设，其中可微，则
.
10..
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.
=（
）.
A.;
B.
;
C.
;D..
2.
已知，则（
）.
A.
B.
C.
D..
3.若，则(
).
A.
B.
C.
D.
4.下列级数发散的是(
)
A.
;
B.
;
C
.;
D
.
.
5.微分方程的阶数为（
）.
A
.
3
;B.
4
;
C
.2
;
D.
6.三．
计算题（每小题8分，共32分）
1.设,求.
2.若D是由所围成的区域,求之值。
3.判别级数的收敛性。
4.求方程的通解。
四．应用题（每小题9分，共18分）
1.设平面区域D由抛物线与直线
围成,求:（1）D的面积；（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。
2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。
五．证明题（5分）：
证明：.一.
1.;
2.;
3.;
4.;
5.
；6.
5
;
7.
;
8.
y=;
9.
.10.tanx
二.
D
B
A
D
A
三.
1.解:
令，
(2分)
则
(4分)(8分)
.2.解:
联立
解得两个交点坐标
（2分）
（4分）
（8分）
3.解:
（4分）
(4分)
又是几何级数，公比收敛
故由比较判别法知原级数收敛.
(8分)
(或者用比较判别法的极限形式)
4.
解：，代入原方程得
（2分）
分离变量
（4分）
两边积分
将
回代得方程的解
（8分）
四．1.
解：（1），
故所求图形的面积为
（4分）
（2），所求旋转体的体积为
（9分）
2.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
（5分）解之得唯一驻点
(7分)
由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。
(9分)五．证明：交换积分次序：
等式左边==右边.故等式成立。一、
填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.=
.
3.=_
___
__
.
4.
=.
5.
=
.
6.
=??????????????．
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、
单选题（每题3分，共15分）
1.
=（
）．
A.
．??????B.
2．???????C.
0．????D.
1．
2.
设
，其中可微，则
=（
）.
A.
B.
C.D.
1
3.
设
，
则=（）.
A.
B.
C.
D.
4.
设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（???）．
A．．????????B．．???????C．.????D．．
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.
C.
D.
三、
计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
求。
4.
求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5分）
证明
一、
填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
1；
5.
1
;
6.
2
;
7.
2;
8.
二;
9.
；
10.
.
二、单选题（每小题3分，共15分）
1.
A
2
.
B3.
A
4.
B5.
C
三、计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
令
则
原式（5分）.
（8分）
2.
解设
则
(5分)
(8分)
3.
解：
（4分）
（6分）
（8分）
4.
解：
代入原方程得
分离变量
（4分）两边积分（6分）
得
故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.
先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：考察级数，由于（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）一、填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.=
.
3.
设，则=??????????????．
4.=_
___
__
.
5.
=
.
6.
=.
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、单选题（每题3分，共15分）1.
在上的平均值是（）.
A.
B.
C.
D.2.
=（
）．
A.
．??????B.
．???????C.
．????D.
．
3.
设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（???）．
A．．????????B．．???????C．.????D．．4.
设
，其中可微，则
=（
）.
A.
B.
C.D.
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.
C.
D.
三、计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
求。
4.
求微分方程
的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?
2.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。五、证明题（5分）
证明
一，
填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
0；
5.
3
;
6.
6
;
7.
7;
8.
二;
9.
；
10.
.
二，
单选题（每小题3分，共15分）
1.
B
2
.
A3.
B
4.
A5.
D
三，
计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
（4分）（8分）2.
解设
则
（3分）
(6分)（8分）
3.
解：
（4分）
（6分）
（8分）5.
解：
分离变量
（3分）
两边积分（5分）
得故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)
（8分）
四，
应用题（每小题9分，共18分）
1.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
2.
(4分)
(9分)五，
证明题（5分）
证明：考察级数，由于
（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）四、
填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.
=
.
3.
=_
___
__
.
4.
=.
5.
=
.
6.
广义积分收敛，则.
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
五、
单选题（每题3分，共15分）
1.
=（
）．
A.
．??????B.
2．???????C.
0．????D.
1．
2.
函数，，由方程所确定，则
=（
）.
A.
2B.
-1
C.
1
D.
-2
3.
设
，
则=（）.
A.
B.
C.
D.
4.
可偏导的函数取得极值点必为（???）．
A．零点．????????B．驻点．???????C．不可导点.????D．驻点或不可导点．
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.C.
D.
六、
计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
计算D由和围成的区域
4.
求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴
旋转所成的旋转体的体积。
2．销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为
，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25，
试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5分）
证明
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
1；
5.
2
;
6.
>3
;
7.
1;
8.
二;
9.
；
10.
.
二、单选题（每小题3分，共15分）
1.
A
2
.
B3.
A
4.
B5.
C
三、计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
令
则
原式（5分）.
（8分）
2.
解设则
(5分)
(8分)
3.
解：原式
（4分）
（6分）
（8分）
5.
解：由于，由公式得其通解（4分）
==
（6分）
故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.
先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.
解:显然,有条件成立,所求利润函数
3.
作拉格朗日函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：令，则
于是=
（3分）
所以原式成立
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一、填空题（每题3分，共30分）
1、函数的定义域是____________.
2、设
，则________________.
3、广义积分的敛散性为_____________.
4、____________
.
5、若
.
6、微分方程
的通解是
____.
7、级数
的敛散性为
.
8、
已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.
9、交换
的积分次序=
.
10、微分方程
的阶数为
_____阶.
二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列级数收敛的是（
）
A，
B，
C，
D，2、，微分方程的通解为（）
A，
B，
C，
D，
3、设D为：，二重积分=（
）
A,
B,C,
D，0
4、
若
A,B,
C,D,
5、=（）A,
0
B,
1
C,
2D,
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
1．已知
2.
求，其中D是由
，x=1和x轴围成的区域。
3.
已知z=f(x,y)由方程确定，求
4.判定级数的敛散性.
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由
和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）
1,
2，3，发散4，0
5，
6，y=cx7，收敛8，R(x)=x3+1000x9，
10，2
二、单选题（每小题3分，共15分）
1，B
2，B3，C
4，C
5，D
三、计算题（每小题8分，共32分）
1、
解：
令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别
的敛散性，
（2分）收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1、解：2、
解：约束条件为200x+400y-100000=0
（2分）
构造拉格朗日函数，
（4分）
,求一阶偏导数，
（6分）
得唯一解为：，
（8分）
根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230.
（9分）
五、证明题（5分）
证明：设对等式两边积分，得：（2分）
（4分）
解得：
题设结论得证。
（5分）
一、填空题（每题2分，共20分）
1、函数的定义域是_______
2、__________
3、_______
4、若___________
5、设可微，则
6.
已知满足方程则
_______
7、交换的积分次序=__________________
8、级数__________
9、若级数的收敛，则k的取值范围是
10、微分方程的通解是
____
二、单选题（每题2分，共10分）
1、若广义积分，则k=（
）
A，B，
C，
D，2、若满足方程，则
（
）
A，
0B，1
C，
D，
3、设D为：，二重积分=____________
A,
B,
C,
D，
4、下列级数发散的是(
)
A,B，
CD5、微分方程的阶数为
（
）
A,1
B，2C
3D
4
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
2.
已知，求
3.
计算二重积分，其中D由，，及所围成。
4.求一阶线性微分方程的通解.
5．
判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
6．
计算定积分。
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1
，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
五、证明题（4分）
证明：
一、填空题（每题2分，共20分）
1、，
2、
，
3、0
，
4、
，
5、0
，6.
7、
，8、2
9、
，10、
（c为任意常数）
二、单选题（每题2分，共10分）
1、D
2、D，
3、
C,4
、B，
5、C
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
解：
--------
4分-----------8分
2.
已知，求
解：两边去自然对数，
两边关于x求偏导数，，
---------
4分
整理得所以------------
8分
3.
计算二重积分，其中D由，，及所围成。
解：画图（2分），
Y-型，
-----------
4
分
-------------
8分4.求一阶线性微分方程的通解.
解：方法1：
直接算，，，
方法2：原方程可以化为
，
，
直接代入公式，
------------
4
分
（c为任意常数）
--------------
8分
5．这是一个交错级数，一般项为。
先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。
----------------2’----------------------------------4’----------------------------------6’
根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。-----------------------------8’
6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则=2
----------------------------------2’
=--------------------------------4’
=
--------------------------------6’
==
--------------------------------8’四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：画图（2分）
-----------------
5分
=
----------------
9分
2.
某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1
，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
解：由题意知，收入函数为利润函数
构造拉格朗日函数，
-------------
5分
，解得
----------------
9分
五、证明题（4分）
利用级数的敛散性，证明：
证明：先证明级数收敛，用比值判别法
，所以级数收敛
由级数收敛的必要条件知道，，即一、填空题（每小题3分，共15分）
1．
设,则=
.
2．
当
时,
收敛.
3．
交换积分次序
.
4．
已知级数收敛,则=
.
5．
若，其中具有二阶偏导数，则=
.
二、
单选题（每小题3分，共15分）
1．().
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).
2.
函数在上可积的必要条件是在上（
）
（A）连续
;
（B）有界;
（C）
无间断点;(D)有原函数.
3．下列反常积分收敛的是()
(A);
(B)
;
(C)
;
(D)
.
4．下列级数发散的是().
(A)
;
(B)
;(C)
;(D)
.5．
微分方程的通解是(
)
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).
三、计算题I（每题6分，共24分）
1.求.
2.设,求.
3.
求，其中D由围成.
4.
判别级数的敛散性.四、计算题II（每题8分，共24分）
5.
求.
6.
设由方程确定,其中可微,求.
7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题8分，共16分）
1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.
2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)
已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总
利润最大?最大利润是多少?六、证明题（6分）
证明：若收敛，则发散.
一、1.;
2.;
3.;
4.;
5.
.
二、BBACD
三、1.解:原式=
(3分).
(6分)
2.解:(2分)
(4分)(6分)
3.
解：原式=
（2分）（4分）.（6分）4.解:记,取(4分)
又
收敛故原级数收敛.
(6分)
四、5．解：令，即，则
当时，
（2分）
故原式（4分）（6分）
.
（8分）
6．解：记
（4分）
（8分）
7．解：原方程可化为------一阶线性微分方程此时，（2分）
故原方程的通解为
（4分）
（6分）
由,得
从而，所求原方程的特解为
.
（8分）
五、1.
解：1>
故所求图形的面积为
（4分）
2>所求旋转体的体积为
（5分）.
（8分）
2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为
(万元).
(8分)
六、证明：证明：由于
（3分），
又因为
收敛，
故收敛，从而，绝对收敛.
（6分）
1．
函数的定义域是
.
2．.
3．
若___________.
4．
设有连续的二阶偏导数，则
.
5．
=.
6．
广义积分收敛，则.
7．
交换积分次序=
.
8．
设D为所围区域，则
.
9．
=
.
10.
方程是
阶微分方程
.三、
单选题（每小题3分，共15分）
1．广义积分收敛于().
A.0
;
B.
;
C.
;
D..
2.
设积分区域D是（）.
A.;B.;C.;
D..3．下列级数中条件收敛的是（）.
A.;
B.;
C.;
D..
4．设，其中可微，则（）
A.
;
B.
C.
D.
5．微分方程的通解是（
）。
A.
;B.
;
C.;
D.
.
三、计算题（每题8分，共32分）
1.求.
2.设D由曲线围成,求
3.
已知，求.
4.
判别级数的敛散性.
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.设D由与所围成，求：（1）平面图形的面积；（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。
五、证明题（5分）
设，其中F可微。证明：一.
1.;
2.
0
;
3.
;
4.
；5.
0
;
6.
;
7.
;
8.
2(2ln2-1);
9.
1；
10.
2.
二.C
A
D
C
B
三.1.解:原式=
(3分)(6分)(8分)
2．解:画积分区域草图，联立方程求交点得：，（2分）
原式=.
(4分)（5分）
（8分）
3.解:
令，则
(3分)(5分)
(8分)
4.解:用比值判别法
(2分)
(4分)
(6分)原级数收敛.(8分)
四.1.
解：(1)，
（2分）
故所求图形的面积为
（5分）
(2)所求旋转体的体积为
.
（9分）
2.解:由需求函数x,y得：
，
利润函数=
=(2分)作辅助函数
=
(4分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为
(9分)
五．证明：（3分），
.（5分）故等式成立。一、填空题（每小题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.设域是，则
.
3.交换积分次序.
4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性
，对资本的偏弹性
.
5.设
.
6.若则
.
7.当满足条件
时收敛。
8.微分方程的通解为
.
9.设，其中可微，则
.
10..
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.
=（
）.
A.;
B.
;
C.
;D..
2.
已知，则（
）.
A.
B.
C.
D..
3.若，则(
).
A.
B.
C.
D.
4.下列级数发散的是(
)
A.
;
B.
;
C
.;
D
.
.
5.微分方程的阶数为（
）.
A
.
3
;B.
4
;
C
.2
;
D.
6.三．
计算题（每小题8分，共32分）
1.设,求.
2.若D是由所围成的区域,求之值。
3.判别级数的收敛性。
4.求方程的通解。
四．应用题（每小题9分，共18分）
1.设平面区域D由抛物线与直线
围成,求:（1）D的面积；（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。
2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。
五．证明题（5分）：
证明：.一.
1.;
2.;
3.;
4.;
5.
；6.
5
;
7.
;
8.
y=;
9.
.10.tanx
二.
D
B
A
D
A
三.
1.解:
令，
(2分)
则
(4分)(8分)
.2.解:
联立
解得两个交点坐标
（2分）
（4分）
（8分）
3.解:
（4分）
(4分)
又是几何级数，公比收敛
故由比较判别法知原级数收敛.
(8分)
(或者用比较判别法的极限形式)
4.
解：，代入原方程得
（2分）
分离变量
（4分）
两边积分
将
回代得方程的解
（8分）
四．1.
解：（1），
故所求图形的面积为
（4分）
（2），所求旋转体的体积为
（9分）
2.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
（5分）解之得唯一驻点
(7分)
由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。
(9分)五．证明：交换积分次序：
等式左边==右边.故等式成立。一、
填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.=
.
3.=_
___
__
.
4.
=.
5.
=
.
6.
=??????????????．
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、
单选题（每题3分，共15分）
1.
=（
）．
A.
．??????B.
2．???????C.
0．????D.
1．
2.
设
，其中可微，则
=（
）.
A.
B.
C.D.
1
3.
设
，
则=（）.
A.
B.
C.
D.
4.
设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（???）．
A．．????????B．．???????C．.????D．．
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.
C.
D.
三、
计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
求。
4.
求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5分）
证明
一、
填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
1；
5.
1
;
6.
2
;
7.
2;
8.
二;
9.
；
10.
.
二、单选题（每小题3分，共15分）
1.
A
2
.
B3.
A
4.
B5.
C
三、计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
令
则
原式（5分）.
（8分）
2.
解设
则
(5分)
(8分)
3.
解：
（4分）
（6分）
（8分）
4.
解：
代入原方程得
分离变量
（4分）两边积分（6分）
得
故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.
先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：考察级数，由于（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）一、填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.=
.
3.
设，则=??????????????．
4.=_
___
__
.
5.
=
.
6.
=.
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、单选题（每题3分，共15分）1.
在上的平均值是（）.
A.
B.
C.
D.2.
=（
）．
A.
．??????B.
．???????C.
．????D.
．
3.
设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（???）．
A．．????????B．．???????C．.????D．．4.
设
，其中可微，则
=（
）.
A.
B.
C.D.
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.
C.
D.
三、计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
求。
4.
求微分方程
的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?
2.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。五、证明题（5分）
证明
一，
填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
0；
5.
3
;
6.
6
;
7.
7;
8.
二;
9.
；
10.
.
二，
单选题（每小题3分，共15分）
1.
B
2
.
A3.
B
4.
A5.
D
三，
计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
（4分）（8分）2.
解设
则
（3分）
(6分)（8分）
3.
解：
（4分）
（6分）
（8分）5.
解：
分离变量
（3分）
两边积分（5分）
得故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)
（8分）
四，
应用题（每小题9分，共18分）
1.
解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
2.
(4分)
(9分)五，
证明题（5分）
证明：考察级数，由于
（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）四、
填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.
2.
=
.
3.
=_
___
__
.
4.
=.
5.
=
.
6.
广义积分收敛，则.
7.
设，其中
在D上连续，则
=
.
8.
方程是
阶微分方程
.
9.
设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
五、
单选题（每题3分，共15分）
1.
=（
）．
A.
．??????B.
2．???????C.
0．????D.
1．
2.
函数，，由方程所确定，则
=（
）.
A.
2B.
-1
C.
1
D.
-2
3.
设
，
则=（）.
A.
B.
C.
D.
4.
可偏导的函数取得极值点必为（???）．
A．零点．????????B．驻点．???????C．不可导点.????D．驻点或不可导点．
5.
下列级数发散的是(
)
.
A．B.C.
D.
六、
计算题（每题8分，共32分）
1
.
求。
2.
设由方程确定，求。
3.
计算D由和围成的区域
4.
求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.
设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴
旋转所成的旋转体的体积。
2．销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为
，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25，
试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5分）
证明
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.
;
2.
;
3.
0;
4.
1；
5.
2
;
6.
>3
;
7.
1;
8.
二;
9.
；
10.
.
二、单选题（每小题3分，共15分）
1.
A
2
.
B3.
A
4.
B5.
C
三、计算题（每小题8分，共32分）
1
.
解：
令
则
原式（5分）.
（8分）
2.
解设则
(5分)
(8分)
3.
解：原式
（4分）
（6分）
（8分）
5.
解：由于，由公式得其通解（4分）
==
（6分）
故原方程的通解为
(
C
为任意常数
)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.
先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.
解:显然,有条件成立,所求利润函数
3.
作拉格朗日函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：令，则
于是=
（3分）
所以原式成立
（5分）《微积分II真题含答案》出自：卡耐基范文网
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