**市2016届中考数学一诊试题
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2020-05-14
xx市2016届中考数学一诊试题
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b
B．3a=2b
C．
D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x=4时，所对应的函数值y等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
4．如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（ ）
A．1：
B．1：7
C．1：3.5
D．1：49
5．抛物线y=（x﹣1）2+2与y轴交点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（0，3）
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）A．圆柱
B．圆锥
C．正三棱柱
D．正三棱锥
7．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（ ）
A．60个
B．50个
C．40个
D．30个
8．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的大小为（ ）A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（ ）A．2cm
B．2cm
C．4cm
D．4cm
11．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm
B．
cm
C．6sin18°cm
D．6cos18°cm
12．某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8
B．6
C．4
D．3
13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件；现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，设每件商品应降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20+x）（300+20x）=6125
B．（20﹣x）（300﹣20x）=6125
C．（20﹣x）（300+20x）=6125
D．（20+x）（300﹣20x）=6125
14．如图，正方形ABCD的边长为4，边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，反比例函数y=的图象经过A，E两点，则k的值为（ ）A．8
B．4
C．6
D．3
15．如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点
C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）A．﹣2
B．﹣2≤h≤1
C．﹣1
D．﹣1
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．已知方程x2﹣x=3有一根为m，则m2﹣m+2013的值为
．
17．若抛物线y=（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为
．
18．如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是
cm．19．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是
．20．如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是
．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（1）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）
22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形ABCD的外接圆．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．23．春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从A：兰州极地海洋世界（收费），B：白塔山公园（免费），C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从D：五泉山公园（免费），E：安宁滑雪场（收费），F：甘肃省博物馆（免费），G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩．
（1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）；
（2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率．
24．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠DAN=90°；
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明；
当四边形ADCE是正方形，若AB=3，求正方形ADCE的面积．26．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=的图象多线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP=2S△MNO，请你求出点P的坐标．27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．28．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？ 2016年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b
B．3a=2b
C．
D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b?a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b?a：b=2：3，故选项正确；
C、=?b：a=2：3，故选项错误；
D、=?a：b=3：2，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．
【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选A．
【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x=4时，所对应的函数值y等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】设反比例函数的解析式y=，利用已知点的坐标和反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后计算自变量为4所对应的函数值即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式y=，
把（﹣2，4）代入得k=﹣2×4=﹣8，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
当x=4时，y=﹣=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（ ）
A．1：
B．1：7
C．1：3.5
D．1：49
【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：7，
∴它们的面积比等于1：49．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5．抛物线y=（x﹣1）2+2与y轴交点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（0，3）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将x=0代入y=（x﹣1）2+2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：将x=0代入y=（x﹣1）2+2，得y=3，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，3）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）A．圆柱
B．圆锥
C．正三棱柱
D．正三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．
【解答】解：∵主视图和左视图是长方形，
∴该几何体是柱体，
∵俯视图是三角形，
∴该几何体是正三棱柱．
故选：C．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．
7．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（ ）
A．60个
B．50个
C．40个
D．30个
【考点】利用频率估计概率．
【分析】由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．
【解答】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为2：4，
∵白球有10个，
∴红球有4×10=40（个）．
故选C．
【点评】本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．
8．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的大小为（ ）A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求得．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=70°，
∴∠B=20°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=20°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（ ）A．2cm
B．2cm
C．4cm
D．4cm
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COM=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30°，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴OC=4cm，
∴OM=4cos30°=2cm，
故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
11．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm
B．
cm
C．6sin18°cm
D．6cos18°cm
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．
【解答】解：由已知图形可得：tan18°=，
木桩上升的高度h=6tan18°cm．
故选：A．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．
12．某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8
B．6
C．4
D．3
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=5时，y的值即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴当x=﹣1时的函数值等于当x=5时的函数值，
∵当x=﹣1时，y=8，
∴当x=5时，y=8．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件；现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，设每件商品应降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20+x）（300+20x）=6125
B．（20﹣x）（300﹣20x）=6125
C．（20﹣x）（300+20x）=6125
D．（20+x）（300﹣20x）=6125
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【分析】设应降价x元，根据每降价1元，每星期可多卖出20件，利用销量×每件利润=6125元列出方程即可．
【解答】解：设应降价x元，根据题意得：
（300+20x）（20﹣x）=6125，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，
14．如图，正方形ABCD的边长为4，边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，反比例函数y=的图象经过A，E两点，则k的值为（ ）A．8
B．4
C．6
D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】设B（a，0），则C（a+4，0），A（a，4），利用正方形的性质得点E为AC的中点，则可表示出E（a+2，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4a=2（a+2），再求出a后易得k的值．
【解答】解：设B（a，0），则C（a+4，0），A（a，4），
∵点E为正方形ABCD的对角线的交点，
∴点E为AC的中点，
∴E（a+2，2），
∵点A和点E在反比例函数y=的图象上，
∴k=4a=2（a+2），解得a=2，
∴k=8．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了正方形的性质．
15．如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）A．﹣2
B．﹣2≤h≤1
C．﹣1
D．﹣1
【考点】二次函数综合题．
【分析】将y=与y=﹣联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=﹣可求得k=﹣，于是可得到抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】解：∵将y=与y=﹣联立得：，解得：．
∴点B的坐标为（﹣2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x=h，y=k，代入得y=﹣得：﹣
h=k，解得k=﹣，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．将C（0，0）代入y=（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h=0，解得：h1=0（舍去），h2=．
如图2所示：当抛物线经过点B时．将B（﹣2，1）代入y=（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=﹣2，h2=﹣（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．
故选A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边
AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．已知方程x2﹣x=3有一根为m，则m2﹣m+2013的值为 2016 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣m=3，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵方程x2﹣x=3有一根为m，
∴m2﹣m=3，
∴m2﹣m+2013=3+2013=2016．
答案为2016．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．若抛物线y=（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 m＞﹣1 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+（m+1），
∴顶点坐标为（2，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征．
18．如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 6 cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=16，
∵AE=EB=8，EF=FD，设EF=DF=x．则AF=16x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，
∴82+（16﹣x）2=x2，
∴x=10，
∴AF=16﹣10=6cm，
故答案为6．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是 2﹣π ．【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．
【分析】连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AC、BD、BE，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AO=，BO=1，
∵tan∠BAO=，tan∠ABO=，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，
∴BE=ABsin60°=，
∴S菱形﹣S扇形=×2×2﹣=2﹣π．
故答案为：2﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．
20．如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是 ＜t＜ ．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【专题】动点型．
【分析】在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；当⊙O在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；得出动圆与直线AB相切时t的取值，即可得出动圆与直线AB相交时t的取值范围．
【解答】解：如图所示：
∵A（3，0）、B（0，﹣4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；
①当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
②当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3；
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
综上所述：动圆与直线AB相切时t的取值是或，
∴动圆与直线AB相交时t的取值范围是＜t＜．
故答案为：＜t＜．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（1）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数以及负整数指数幂的性质化简各数，进而得出答案；
（2）利用因式分解法解方程得出答案．
【解答】解：（1）原式=2﹣1﹣2﹣4×+1
=﹣2．（2）方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，
这里a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∵△=4+12=16＞0，
∴x==1±2，
解得：x1=﹣1，x2=3．
【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各数是解题关键．
22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形ABCD的外接圆．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【分析】作线段AC的垂直平分线交AD于E，交BC与F，交AC于O，则EF为折痕；然后以点O为圆心，OA为半径作圆⊙O．
【解答】解：如图，EF和⊙O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从A：兰州极地海洋世界（收费），B：白塔山公园（免费），C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从D：五泉山公园（免费），E：安宁滑雪场（收费），F：甘肃省博物馆（免费），G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩．
（1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）；
（2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得小刚所有可能选择的方式；
（2）首先由（1）中的树状图，即可求得小刚这一天游玩的景点恰好是免费的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表格如下：下午
D
E
F
G上午
A
（A，D）
（A，E）
（A，F）
（A，G）
B
（B，D）
（B，E）
（B，F）
（B，G）
C
（C，D）
（C，E）
（C，F）
（C，G）
（2）∵一共有12种等可能的结果，而恰好小刚这一天的游玩的景点恰好是免费的有（B，D），（C，D），（B，F），（C，F）4种．
∴P（小刚这一天游玩的景点恰好是免费）==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）根据tan∠BCD=，进而得出答案；
（2）设AD=x，则CD=AD=x，可得AF=x﹣50，EF=x﹣50，进而利用在Rt△AEF中，
=tan60°，求出答案．
【解答】解：（1）依题意得：tan∠BCD==，
∴∠BCD=30°；（2）方法1：
作EG⊥CD，垂足为G．
在Rt△CEG中，CE=100，∠ECG=30°，
∴EG=CE?sin30°=50，
CG=CE?cos30°=50，
设AD=x，则CD=AD=x．
∴AF=x﹣50，EF=x﹣50，
在Rt△AEF中，
=tan60°，
∴=．
解得：x=50+50≈136.5（米）．
答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．
方法2：
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE=15°．
∵∠AEF=60°，
∴∠EAF=30°．
∵∠DAC=45°，
∴∠EAC=∠DAC﹣∠EAF=15°，
∴∠ACE=∠EAC．
∴AE=CE=100．
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴AF=AE?sin60°=50（m），
在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°，
∴EG=CE?sin30°=50m．
∴AD=AF+FD=AF+EG=50+50≈136.5（米）．
答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角的定义，正确构造直角三角形是解题关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠DAN=90°；
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明；
当四边形ADCE是正方形，若AB=3，求正方形ADCE的面积．【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出∠DAN的度数；
（2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可；
（3）利用邻边相等的矩形是正方形，求出正方形的边长，从而求出正方形的面积．
【解答】
（1）证明：如图1，∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，
∴∠CAD=BAC．
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE=CAM，
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°，
（2）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN=90°，
∴∠ADC=∠CEA=∠DAN=90°，
∴四边形ADCE为矩形．（3）解：如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形．
∵∠BAC=90°，且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=BAC=45°，
∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=AC．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
由勾股定理，得=AC，
∵AD=CD，
∴AD=3，
∴AD=3，
∴正方形ADCE的面积=AD2=3×3=9．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查正方形的判断方法，涉及到知识有，等腰三角形的三线合一的性质，如由AB=AC，AD⊥BC得到∠CAD=BAC，三角形的外角的平分线，勾股定理；本题的关键是整体计算∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°．
26．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=的图象多线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP=2S△MNO，请你求出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得OA的值，得出A的坐标，把A，C两点分别代入y=kx+b根据待定系数法即可求得．
（2）设P（0，y），则AP=|y﹣3|．根据反比例函数系数k的几何意义和已知条件求得S△ACP=3，然后根据三角形面积公式得到关于y的方程，解方程即可求得y的值．
【解答】解：（1）如图1，∵反比例函数y=的图象过点C（﹣2，），
∴k=（﹣2）×=﹣3，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
过点C作CD⊥OB，则CD=．
∵CD∥AO，
∴=，
即=，解得：OA=3，
∴A（0，3）．
∵一次函数y=kx+b的图象过点C（﹣2，），A（0，3），
∴，解得：．
∴一次函数的表达式为y=x+3．
（2）如图2，设P（0，y），AP=|y﹣3|．
∵S△MNO=|k|=×3=，
∴S△ACP=2S△MNO=2×=3，
∴×AP×|xc|=3，即：×|y﹣3|×2=3；
解得：y=6或y=0．
∴P（0，6）或P（0，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得A的坐标是解题的关键．
27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；
（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠CAB+∠DAC=90°．
∴AD⊥AB．
∵OA是⊙O半径，
∴DA为⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B．
∵∠DCE=∠OCB，
∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠DCE．
∵∠D=∠D，
∴△CED∽△ACD；
（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，
∴OD==3，
∴CD=OD﹣OC=2．
∵AD==2，
又∵△CED∽△ACD，
∴，
∴DE==，
∴AE=AD﹣DE=2﹣=．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．
28．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？
他
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A、B点的坐标代入函数解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）令x=0可得出C点的坐标，设出直线BC解析式y=kx+4，代入B点坐标可求出k值，结合点到直线的距离与三角形的面积公式，即可得出结论；
（3）①由直线BC的解析式为y=﹣x+4可得知OE=CP，设出P、F点的坐标，由F点的纵坐标﹣P点的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值问题；②由翻转特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC=PF，由此得出关于t的二元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．
（2）令x=0，则y=4，
即点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∵点B的坐标为（4，0），
∴有0=4k+4，解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，可以变形为x+y﹣4=0．
当t=1时，CP=，
点A（﹣1，0）到直线BC的距离h==，
S△ACP=CP?h=××=．
（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）
PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．
当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，
∴PC=P′C，PF=P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．
∴t=﹣t2+4t，
解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．
故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出直线BC的解析式由点到直线的距离求出三角形的高；（3）①结合直线BC与抛物线的解析式设出P、F点的坐标；②由菱形的判定定理找出PC=PF．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）借用了点到直线的距离减少运算量；（3）由二次函数的性质找出最值．
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一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b
B．3a=2b
C．
D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x=4时，所对应的函数值y等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
4．如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（ ）
A．1：
B．1：7
C．1：3.5
D．1：49
5．抛物线y=（x﹣1）2+2与y轴交点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（0，3）
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）A．圆柱
B．圆锥
C．正三棱柱
D．正三棱锥
7．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（ ）
A．60个
B．50个
C．40个
D．30个
8．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的大小为（ ）A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（ ）A．2cm
B．2cm
C．4cm
D．4cm
11．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm
B．
cm
C．6sin18°cm
D．6cos18°cm
12．某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8
B．6
C．4
D．3
13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件；现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，设每件商品应降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20+x）（300+20x）=6125
B．（20﹣x）（300﹣20x）=6125
C．（20﹣x）（300+20x）=6125
D．（20+x）（300﹣20x）=6125
14．如图，正方形ABCD的边长为4，边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，反比例函数y=的图象经过A，E两点，则k的值为（ ）A．8
B．4
C．6
D．3
15．如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点
C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）A．﹣2
B．﹣2≤h≤1
C．﹣1
D．﹣1
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．已知方程x2﹣x=3有一根为m，则m2﹣m+2013的值为
．
17．若抛物线y=（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为
．
18．如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是
cm．19．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是
．20．如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是
．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（1）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）
22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形ABCD的外接圆．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．23．春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从A：兰州极地海洋世界（收费），B：白塔山公园（免费），C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从D：五泉山公园（免费），E：安宁滑雪场（收费），F：甘肃省博物馆（免费），G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩．
（1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）；
（2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率．
24．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠DAN=90°；
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明；
当四边形ADCE是正方形，若AB=3，求正方形ADCE的面积．26．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=的图象多线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP=2S△MNO，请你求出点P的坐标．27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．28．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？ 2016年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b
B．3a=2b
C．
D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b?a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b?a：b=2：3，故选项正确；
C、=?b：a=2：3，故选项错误；
D、=?a：b=3：2，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．
【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选A．
【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
3．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x=4时，所对应的函数值y等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】设反比例函数的解析式y=，利用已知点的坐标和反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后计算自变量为4所对应的函数值即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式y=，
把（﹣2，4）代入得k=﹣2×4=﹣8，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
当x=4时，y=﹣=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（ ）
A．1：
B．1：7
C．1：3.5
D．1：49
【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：7，
∴它们的面积比等于1：49．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5．抛物线y=（x﹣1）2+2与y轴交点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（0，3）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将x=0代入y=（x﹣1）2+2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：将x=0代入y=（x﹣1）2+2，得y=3，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，3）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）A．圆柱
B．圆锥
C．正三棱柱
D．正三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．
【解答】解：∵主视图和左视图是长方形，
∴该几何体是柱体，
∵俯视图是三角形，
∴该几何体是正三棱柱．
故选：C．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．
7．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（ ）
A．60个
B．50个
C．40个
D．30个
【考点】利用频率估计概率．
【分析】由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．
【解答】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为2：4，
∵白球有10个，
∴红球有4×10=40（个）．
故选C．
【点评】本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．
8．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的大小为（ ）A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求得．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=70°，
∴∠B=20°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=20°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（ ）A．2cm
B．2cm
C．4cm
D．4cm
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COM=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30°，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴OC=4cm，
∴OM=4cos30°=2cm，
故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
11．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm
B．
cm
C．6sin18°cm
D．6cos18°cm
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．
【解答】解：由已知图形可得：tan18°=，
木桩上升的高度h=6tan18°cm．
故选：A．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．
12．某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8
B．6
C．4
D．3
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=5时，y的值即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴当x=﹣1时的函数值等于当x=5时的函数值，
∵当x=﹣1时，y=8，
∴当x=5时，y=8．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件；现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，设每件商品应降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20+x）（300+20x）=6125
B．（20﹣x）（300﹣20x）=6125
C．（20﹣x）（300+20x）=6125
D．（20+x）（300﹣20x）=6125
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【分析】设应降价x元，根据每降价1元，每星期可多卖出20件，利用销量×每件利润=6125元列出方程即可．
【解答】解：设应降价x元，根据题意得：
（300+20x）（20﹣x）=6125，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，
14．如图，正方形ABCD的边长为4，边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，反比例函数y=的图象经过A，E两点，则k的值为（ ）A．8
B．4
C．6
D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】设B（a，0），则C（a+4，0），A（a，4），利用正方形的性质得点E为AC的中点，则可表示出E（a+2，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4a=2（a+2），再求出a后易得k的值．
【解答】解：设B（a，0），则C（a+4，0），A（a，4），
∵点E为正方形ABCD的对角线的交点，
∴点E为AC的中点，
∴E（a+2，2），
∵点A和点E在反比例函数y=的图象上，
∴k=4a=2（a+2），解得a=2，
∴k=8．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了正方形的性质．
15．如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）A．﹣2
B．﹣2≤h≤1
C．﹣1
D．﹣1
【考点】二次函数综合题．
【分析】将y=与y=﹣联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=﹣可求得k=﹣，于是可得到抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】解：∵将y=与y=﹣联立得：，解得：．
∴点B的坐标为（﹣2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x=h，y=k，代入得y=﹣得：﹣
h=k，解得k=﹣，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．将C（0，0）代入y=（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h=0，解得：h1=0（舍去），h2=．
如图2所示：当抛物线经过点B时．将B（﹣2，1）代入y=（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=﹣2，h2=﹣（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．
故选A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边
AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．已知方程x2﹣x=3有一根为m，则m2﹣m+2013的值为 2016 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣m=3，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵方程x2﹣x=3有一根为m，
∴m2﹣m=3，
∴m2﹣m+2013=3+2013=2016．
答案为2016．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．若抛物线y=（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 m＞﹣1 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+（m+1），
∴顶点坐标为（2，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征．
18．如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 6 cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=16，
∵AE=EB=8，EF=FD，设EF=DF=x．则AF=16x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，
∴82+（16﹣x）2=x2，
∴x=10，
∴AF=16﹣10=6cm，
故答案为6．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是 2﹣π ．【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．
【分析】连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AC、BD、BE，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AO=，BO=1，
∵tan∠BAO=，tan∠ABO=，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，
∴BE=ABsin60°=，
∴S菱形﹣S扇形=×2×2﹣=2﹣π．
故答案为：2﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．
20．如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是 ＜t＜ ．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【专题】动点型．
【分析】在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；当⊙O在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；得出动圆与直线AB相切时t的取值，即可得出动圆与直线AB相交时t的取值范围．
【解答】解：如图所示：
∵A（3，0）、B（0，﹣4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；
①当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
②当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3；
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
综上所述：动圆与直线AB相切时t的取值是或，
∴动圆与直线AB相交时t的取值范围是＜t＜．
故答案为：＜t＜．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（1）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数以及负整数指数幂的性质化简各数，进而得出答案；
（2）利用因式分解法解方程得出答案．
【解答】解：（1）原式=2﹣1﹣2﹣4×+1
=﹣2．（2）方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，
这里a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∵△=4+12=16＞0，
∴x==1±2，
解得：x1=﹣1，x2=3．
【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各数是解题关键．
22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形ABCD的外接圆．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【分析】作线段AC的垂直平分线交AD于E，交BC与F，交AC于O，则EF为折痕；然后以点O为圆心，OA为半径作圆⊙O．
【解答】解：如图，EF和⊙O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从A：兰州极地海洋世界（收费），B：白塔山公园（免费），C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从D：五泉山公园（免费），E：安宁滑雪场（收费），F：甘肃省博物馆（免费），G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩．
（1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）；
（2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得小刚所有可能选择的方式；
（2）首先由（1）中的树状图，即可求得小刚这一天游玩的景点恰好是免费的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表格如下：下午
D
E
F
G上午
A
（A，D）
（A，E）
（A，F）
（A，G）
B
（B，D）
（B，E）
（B，F）
（B，G）
C
（C，D）
（C，E）
（C，F）
（C，G）
（2）∵一共有12种等可能的结果，而恰好小刚这一天的游玩的景点恰好是免费的有（B，D），（C，D），（B，F），（C，F）4种．
∴P（小刚这一天游玩的景点恰好是免费）==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）根据tan∠BCD=，进而得出答案；
（2）设AD=x，则CD=AD=x，可得AF=x﹣50，EF=x﹣50，进而利用在Rt△AEF中，
=tan60°，求出答案．
【解答】解：（1）依题意得：tan∠BCD==，
∴∠BCD=30°；（2）方法1：
作EG⊥CD，垂足为G．
在Rt△CEG中，CE=100，∠ECG=30°，
∴EG=CE?sin30°=50，
CG=CE?cos30°=50，
设AD=x，则CD=AD=x．
∴AF=x﹣50，EF=x﹣50，
在Rt△AEF中，
=tan60°，
∴=．
解得：x=50+50≈136.5（米）．
答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．
方法2：
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE=15°．
∵∠AEF=60°，
∴∠EAF=30°．
∵∠DAC=45°，
∴∠EAC=∠DAC﹣∠EAF=15°，
∴∠ACE=∠EAC．
∴AE=CE=100．
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴AF=AE?sin60°=50（m），
在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°，
∴EG=CE?sin30°=50m．
∴AD=AF+FD=AF+EG=50+50≈136.5（米）．
答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角的定义，正确构造直角三角形是解题关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠DAN=90°；
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明；
当四边形ADCE是正方形，若AB=3，求正方形ADCE的面积．【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出∠DAN的度数；
（2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可；
（3）利用邻边相等的矩形是正方形，求出正方形的边长，从而求出正方形的面积．
【解答】
（1）证明：如图1，∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，
∴∠CAD=BAC．
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE=CAM，
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°，
（2）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN=90°，
∴∠ADC=∠CEA=∠DAN=90°，
∴四边形ADCE为矩形．（3）解：如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形．
∵∠BAC=90°，且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=BAC=45°，
∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=AC．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
由勾股定理，得=AC，
∵AD=CD，
∴AD=3，
∴AD=3，
∴正方形ADCE的面积=AD2=3×3=9．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查正方形的判断方法，涉及到知识有，等腰三角形的三线合一的性质，如由AB=AC，AD⊥BC得到∠CAD=BAC，三角形的外角的平分线，勾股定理；本题的关键是整体计算∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°．
26．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=的图象多线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP=2S△MNO，请你求出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得OA的值，得出A的坐标，把A，C两点分别代入y=kx+b根据待定系数法即可求得．
（2）设P（0，y），则AP=|y﹣3|．根据反比例函数系数k的几何意义和已知条件求得S△ACP=3，然后根据三角形面积公式得到关于y的方程，解方程即可求得y的值．
【解答】解：（1）如图1，∵反比例函数y=的图象过点C（﹣2，），
∴k=（﹣2）×=﹣3，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
过点C作CD⊥OB，则CD=．
∵CD∥AO，
∴=，
即=，解得：OA=3，
∴A（0，3）．
∵一次函数y=kx+b的图象过点C（﹣2，），A（0，3），
∴，解得：．
∴一次函数的表达式为y=x+3．
（2）如图2，设P（0，y），AP=|y﹣3|．
∵S△MNO=|k|=×3=，
∴S△ACP=2S△MNO=2×=3，
∴×AP×|xc|=3，即：×|y﹣3|×2=3；
解得：y=6或y=0．
∴P（0，6）或P（0，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得A的坐标是解题的关键．
27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；
（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠CAB+∠DAC=90°．
∴AD⊥AB．
∵OA是⊙O半径，
∴DA为⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B．
∵∠DCE=∠OCB，
∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠DCE．
∵∠D=∠D，
∴△CED∽△ACD；
（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，
∴OD==3，
∴CD=OD﹣OC=2．
∵AD==2，
又∵△CED∽△ACD，
∴，
∴DE==，
∴AE=AD﹣DE=2﹣=．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．
28．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？
他
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A、B点的坐标代入函数解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）令x=0可得出C点的坐标，设出直线BC解析式y=kx+4，代入B点坐标可求出k值，结合点到直线的距离与三角形的面积公式，即可得出结论；
（3）①由直线BC的解析式为y=﹣x+4可得知OE=CP，设出P、F点的坐标，由F点的纵坐标﹣P点的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值问题；②由翻转特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC=PF，由此得出关于t的二元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．
（2）令x=0，则y=4，
即点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∵点B的坐标为（4，0），
∴有0=4k+4，解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，可以变形为x+y﹣4=0．
当t=1时，CP=，
点A（﹣1，0）到直线BC的距离h==，
S△ACP=CP?h=××=．
（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）
PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．
当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，
∴PC=P′C，PF=P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．
∴t=﹣t2+4t，
解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．
故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出直线BC的解析式由点到直线的距离求出三角形的高；（3）①结合直线BC与抛物线的解析式设出P、F点的坐标；②由菱形的判定定理找出PC=PF．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）借用了点到直线的距离减少运算量；（3）由二次函数的性质找出最值．
《**市2016届中考数学一诊试题》出自：卡耐基范文网
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