初一数学 多变的行程问题
来源网站：卡耐基范文网
2020-05-31
专题10
多变的行程问题
阅读与思考
行程问题的三要素是：距离（）、速度（）、时间（），基本关系是：，，．
行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：
1．相遇问题
其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝两地之间的距离．
2．追及问题
其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．
例题与求解
【例1】
在公路上，汽车、、分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇后两小时又与相遇，则甲、乙两站相距__________千米．
（“希望杯”竞赛试题）
解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．
【例2】
如图，某人沿着边长为90来的正方形，按→→→→…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（
）．
A．边上
B．边上
C．边上
D．边上
（安徽省竞赛试题）
解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面（米）处．
【例3】
亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．
运动员号码
游泳成绩
第一换项点所用时间
白行车成绩
第二换项点所用时间
长跑成绩
191
1
997
75
4
927
40
3
220
194
1
503
110
5
686
57
3
652
195
1
354
74
5
351
44
3
195
（1）填空（精确到0.01）：
第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；
第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；
第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；
（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？
（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什么？
（江苏省徐州市中考试题）
解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．
【例4】
一小船由港到港顺流需行6小时，由港到港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由港出发顺流行至港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：
（1）若小船按水流速度由港漂流到港时需多少小时？
（2）救生圈是何时掉人水中的？
（天津市中考试题）
解题思路：要求小船按水流速度由港漂流到港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考虑增设辅助未知数．
【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？
（山东省中考试题）
解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．
【例6】
甲、乙两人分别从，两地同时出发，在距离地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，立刻返回，又在距地4千米处相遇，求，两地相距多少千米？
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．能力训练
A级
1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．
2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．
（江苏省竞赛试题）
3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和__________千米．
（武汉市选拔赛试题）
4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（
）．
A．9时30分
B．10时5分
C．10时分
D．9时分
（“希望杯”竞赛试题）
5．甲、乙两人同时从地到地，如果乙的速度保持不变，而甲先用的速度到达中点，再用的速度到达地，则下列结论中正确的是（
）．
A．甲、乙同时到达地B．甲先到地
C．乙先到地
D．无法确定谁先到
6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（
）．
A．31层B．30层C．29层D．28层
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边（
）上．
A．
B．C．
D．
（湖北省黄冈市竞赛试题）
8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（
）．
A．40分钟
B．1小时
C．1小时或20分钟
D．40分钟或1小时
9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．
（江西省中考试题）
10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？
（湖北省孝感市竞赛试题）
11．
铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？
（河北省竞赛试题）B级
1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为__________．
（江苏省竞赛试题）
2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是__________秒．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若，两地的距离为10千米，则，的距离为__________千米．
（重庆市竞赛试题）
4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（
）．
A．
B．
C．
D．
（天津市竞赛试题）
5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从港出发，同向航行1小时后立即返航，那么（
）．
A．甲船先返回港
B．乙船先返回A港
C．甲、乙两船同时返回港
D．不能确定哪条船先返回港
（《时代学习报》数学文化节试题）6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．
（北京市竞赛试题）7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．
8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中为入口处，，，为风景点，为三岔路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从处出发，以每小时2千米的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．
（1）若该游客沿跨线“→→→→”游览回到处，共用去3小时，求,两点间的路程．
（2）若该游客从处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．
（江苏省竞赛试题）
9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？
（湖北省黄冈市竞赛试题）
10．如图，甲、乙两人分别在，两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了14分钟，再继续向地行走，甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则和两地相距多少千米？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）《初一数学 多变的行程问题》出自：卡耐基范文网
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多变的行程问题
阅读与思考
行程问题的三要素是：距离（）、速度（）、时间（），基本关系是：，，．
行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：
1．相遇问题
其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝两地之间的距离．
2．追及问题
其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．
例题与求解
【例1】
在公路上，汽车、、分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇后两小时又与相遇，则甲、乙两站相距__________千米．
（“希望杯”竞赛试题）
解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．
【例2】
如图，某人沿着边长为90来的正方形，按→→→→…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（
）．
A．边上
B．边上
C．边上
D．边上
（安徽省竞赛试题）
解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面（米）处．
【例3】
亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．
运动员号码
游泳成绩
第一换项点所用时间
白行车成绩
第二换项点所用时间
长跑成绩
191
1
997
75
4
927
40
3
220
194
1
503
110
5
686
57
3
652
195
1
354
74
5
351
44
3
195
（1）填空（精确到0.01）：
第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；
第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；
第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；
（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？
（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什么？
（江苏省徐州市中考试题）
解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．
【例4】
一小船由港到港顺流需行6小时，由港到港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由港出发顺流行至港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：
（1）若小船按水流速度由港漂流到港时需多少小时？
（2）救生圈是何时掉人水中的？
（天津市中考试题）
解题思路：要求小船按水流速度由港漂流到港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考虑增设辅助未知数．
【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？
（山东省中考试题）
解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．
【例6】
甲、乙两人分别从，两地同时出发，在距离地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，立刻返回，又在距地4千米处相遇，求，两地相距多少千米？
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．能力训练
A级
1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．
2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．
（江苏省竞赛试题）
3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和__________千米．
（武汉市选拔赛试题）
4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（
）．
A．9时30分
B．10时5分
C．10时分
D．9时分
（“希望杯”竞赛试题）
5．甲、乙两人同时从地到地，如果乙的速度保持不变，而甲先用的速度到达中点，再用的速度到达地，则下列结论中正确的是（
）．
A．甲、乙同时到达地B．甲先到地
C．乙先到地
D．无法确定谁先到
6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（
）．
A．31层B．30层C．29层D．28层
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边（
）上．
A．
B．C．
D．
（湖北省黄冈市竞赛试题）
8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（
）．
A．40分钟
B．1小时
C．1小时或20分钟
D．40分钟或1小时
9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．
（江西省中考试题）
10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？
（湖北省孝感市竞赛试题）
11．
铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？
（河北省竞赛试题）B级
1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为__________．
（江苏省竞赛试题）
2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是__________秒．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若，两地的距离为10千米，则，的距离为__________千米．
（重庆市竞赛试题）
4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（
）．
A．
B．
C．
D．
（天津市竞赛试题）
5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从港出发，同向航行1小时后立即返航，那么（
）．
A．甲船先返回港
B．乙船先返回A港
C．甲、乙两船同时返回港
D．不能确定哪条船先返回港
（《时代学习报》数学文化节试题）6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．
（北京市竞赛试题）7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．
8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中为入口处，，，为风景点，为三岔路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从处出发，以每小时2千米的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．
（1）若该游客沿跨线“→→→→”游览回到处，共用去3小时，求,两点间的路程．
（2）若该游客从处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．
（江苏省竞赛试题）
9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？
（湖北省黄冈市竞赛试题）
10．如图，甲、乙两人分别在，两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了14分钟，再继续向地行走，甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则和两地相距多少千米？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）《初一数学 多变的行程问题》出自：卡耐基范文网
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