紧束缚方法计算石墨烯能带结构
来源网站：卡耐基范文网
2020-07-06
紧束缚方法计算石墨烯能带
重庆邮电大学
应用物理系
陈明月
摘要:
石墨烯是一种呈六角型蜂巢晶格的二维碳纳米材料，随着批量化生产以及大尺寸等难题的逐步突破，石墨烯的产业化应用步伐正在加快，这里，我将应用所学方法，计算石墨烯能带结构。
关键字：二维材料
石墨烯
布里渊区
倒空间
紧束缚方法
一、
石墨烯简介
石墨烯是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成六角形呈蜂巢晶格的二维纳米材料。
石墨烯具有优秀的光学、电学、力学特性，在材料学微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种革命性的材料。
英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，用微机械剥离法成功从石墨中分离出石墨烯，因此共同获得2010年诺贝尔物理学奖。石墨烯常见的粉体生产的方法为机械剥离法、氧化还原法、SiC外延生长法，薄膜生产方法为化学气相沉积（CVD）.
二、
晶体结构
石墨烯是一种六角蜂窝巢结构晶体，其结构图如下：图1.石墨烯实空间结构图其基矢取法以及对应的倒空间中的第一布里渊区如下图所示：
图2.（左）石墨烯基矢取法（右）对应的倒空间
如上图所示，a表示石墨烯中两个碳原子之间的距离。由于其六角形结构，容易得到基矢：
a1=332ai+32aj
a2=-332ai+32aj
这里i，j表示沿x
,
y方向的单位矢量，a是键长即六边形边长，利用对应关系可以得到倒格子基矢为
b1=
2πa33i+13j,
b2=2πa-33i+13j
三、
能带计算
（一）紧束缚方法
紧束缚近似是指电子在一个原子附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其他原子势场的作用看作是微扰。紧束缚方法是将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能级之间的关系。
（二）紧束缚方法计算过程
紧束缚下的归一化基矢{φ1，φ2}：
φ1=1NjeikRjA?r-RjA
φ2=1NjeikRjB?r-RjB
N是晶体的原胞数、?r为C原子p2轨道的波函数，矢量R=
na1+ma2为第j（m,n）个原胞的位矢，RjA，RjB分别是第j个原胞中A原子和B原子的位矢。
紧束缚近似下石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到：
ψr=
c1φ1+c2φ2=
1Nj[eikRjAc1?r-RjA+eikRjBc2?r-RjB]
薛定谔方程：
H|c1φ1+c2φ2=
E|c1φ1+c2φ2|φ1左乘可得：φ1Hc1φ1+c2φ2
=
E（c1φ1φ1+
c2φ1φ2）
|φ2左乘可得：φ2Hc1φ1+c2φ2
=
E（c1φ2φ1+
c2φ2φ2）
原子轨道不发生交叠，即：φiφj=δ
ij
c1H11+
c2H12
=
c1E
c1H21+
c2H22
=
c2E
H11=
φ1Hφ1,H12=
H21x=φ1Hφ2,H22=
φ2Hφ2
得到久期方程：
H11-EH12H21H22-E=
0
利用久期方程可得，本征能量：
E=
12H11+H22±H11-H222+4H12212
H11=
φ1Hφ1=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjA?r-RjA
H12
=φ1Hφ2=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjB?r-RjB
H22
=φ2Hφ2=1NjeikRjB?r-RjBH1NjeikRjB?r-RjB
紧束缚近似下，只考虑最近邻原子间的相互作用力：
H12
=φ1Hφ2=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjB?r-RjB
=1NjeikRjB-RjA?r-RjAH?r-RjB
=e-ikxa+2cosky3a2e-ikxa2?r-RjAH?r-RjB
=Ekt
Ekt=e-ikxa+2cosky3a2e-ikxa2，t=
?r-RjAH?r-RjB
E=Epz±t3+2cos3kya+4cos32kxacos32kya
若令Epz=
0
E=±t3+2cos3kya+4cos32kxacos32kya
kx和ky是倒格矢K在（x，y）上的分量，作出能带图（图3）如下：
图3.石墨烯能带图
四、
分析与总结
从这个结果中我们可以得知，其能隙为零，意味着填充在价带的电子可以不用消耗能量就可以到达导带，其次，我们在图中能够看到狄拉克峰的存在，所以其费米能级附近的能带几乎呈线性关系。
石墨烯产业化还处于初期阶段，一些应用还不足以体现出石墨烯的多种“理想”性能，而世界上很多科研人员正在探索“杀手锏级”的应用，未来在检测及认证方面需要面对太多挑战，有待在手段及方法上不断创新。
参考文献
1.
黄昆（原著）
韩汝琦（改编）《固体物理学》，高等教育出版社
2.
Charles
Kittel
《固体物理导论》（原著第8版），化学工业出版社
3.
Xiao?D,?Yao?W,?&?Niu?Q?(2007)?Valley-Contrasting?Physics?in?Graphene:?Magnetic?Moment?and?Topological?Transport.?Physical
Review
Letters99(23):236809.
4.
施仲诚,房鸿.紧束缚近似方法在计算石墨烯能带中的应用[J].西安工业大学学报,2011,31(6):528-532.?
5.
胡海鑫,张振华,刘新海,
等.石墨烯纳米带电子结构的紧束缚法研究[J].物理学报,2009,58(10):7156-7161.?
6.
[5]牛群磊,赖国霞,黄小兰,
等.Si-P掺杂石墨烯的稳定性和能带结构的理论研究[J].广东石油化工学院学报,2017,27(1):51-53,58.
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重庆邮电大学
应用物理系
陈明月
摘要:
石墨烯是一种呈六角型蜂巢晶格的二维碳纳米材料，随着批量化生产以及大尺寸等难题的逐步突破，石墨烯的产业化应用步伐正在加快，这里，我将应用所学方法，计算石墨烯能带结构。
关键字：二维材料
石墨烯
布里渊区
倒空间
紧束缚方法
一、
石墨烯简介
石墨烯是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成六角形呈蜂巢晶格的二维纳米材料。
石墨烯具有优秀的光学、电学、力学特性，在材料学微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种革命性的材料。
英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，用微机械剥离法成功从石墨中分离出石墨烯，因此共同获得2010年诺贝尔物理学奖。石墨烯常见的粉体生产的方法为机械剥离法、氧化还原法、SiC外延生长法，薄膜生产方法为化学气相沉积（CVD）.
二、
晶体结构
石墨烯是一种六角蜂窝巢结构晶体，其结构图如下：图1.石墨烯实空间结构图其基矢取法以及对应的倒空间中的第一布里渊区如下图所示：
图2.（左）石墨烯基矢取法（右）对应的倒空间
如上图所示，a表示石墨烯中两个碳原子之间的距离。由于其六角形结构，容易得到基矢：
a1=332ai+32aj
a2=-332ai+32aj
这里i，j表示沿x
,
y方向的单位矢量，a是键长即六边形边长，利用对应关系可以得到倒格子基矢为
b1=
2πa33i+13j,
b2=2πa-33i+13j
三、
能带计算
（一）紧束缚方法
紧束缚近似是指电子在一个原子附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其他原子势场的作用看作是微扰。紧束缚方法是将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能级之间的关系。
（二）紧束缚方法计算过程
紧束缚下的归一化基矢{φ1，φ2}：
φ1=1NjeikRjA?r-RjA
φ2=1NjeikRjB?r-RjB
N是晶体的原胞数、?r为C原子p2轨道的波函数，矢量R=
na1+ma2为第j（m,n）个原胞的位矢，RjA，RjB分别是第j个原胞中A原子和B原子的位矢。
紧束缚近似下石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到：
ψr=
c1φ1+c2φ2=
1Nj[eikRjAc1?r-RjA+eikRjBc2?r-RjB]
薛定谔方程：
H|c1φ1+c2φ2=
E|c1φ1+c2φ2|φ1左乘可得：φ1Hc1φ1+c2φ2
=
E（c1φ1φ1+
c2φ1φ2）
|φ2左乘可得：φ2Hc1φ1+c2φ2
=
E（c1φ2φ1+
c2φ2φ2）
原子轨道不发生交叠，即：φiφj=δ
ij
c1H11+
c2H12
=
c1E
c1H21+
c2H22
=
c2E
H11=
φ1Hφ1,H12=
H21x=φ1Hφ2,H22=
φ2Hφ2
得到久期方程：
H11-EH12H21H22-E=
0
利用久期方程可得，本征能量：
E=
12H11+H22±H11-H222+4H12212
H11=
φ1Hφ1=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjA?r-RjA
H12
=φ1Hφ2=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjB?r-RjB
H22
=φ2Hφ2=1NjeikRjB?r-RjBH1NjeikRjB?r-RjB
紧束缚近似下，只考虑最近邻原子间的相互作用力：
H12
=φ1Hφ2=1NjeikRjA?r-RjAH1NjeikRjB?r-RjB
=1NjeikRjB-RjA?r-RjAH?r-RjB
=e-ikxa+2cosky3a2e-ikxa2?r-RjAH?r-RjB
=Ekt
Ekt=e-ikxa+2cosky3a2e-ikxa2，t=
?r-RjAH?r-RjB
E=Epz±t3+2cos3kya+4cos32kxacos32kya
若令Epz=
0
E=±t3+2cos3kya+4cos32kxacos32kya
kx和ky是倒格矢K在（x，y）上的分量，作出能带图（图3）如下：
图3.石墨烯能带图
四、
分析与总结
从这个结果中我们可以得知，其能隙为零，意味着填充在价带的电子可以不用消耗能量就可以到达导带，其次，我们在图中能够看到狄拉克峰的存在，所以其费米能级附近的能带几乎呈线性关系。
石墨烯产业化还处于初期阶段，一些应用还不足以体现出石墨烯的多种“理想”性能，而世界上很多科研人员正在探索“杀手锏级”的应用，未来在检测及认证方面需要面对太多挑战，有待在手段及方法上不断创新。
参考文献
1.
黄昆（原著）
韩汝琦（改编）《固体物理学》，高等教育出版社
2.
Charles
Kittel
《固体物理导论》（原著第8版），化学工业出版社
3.
Xiao?D,?Yao?W,?&?Niu?Q?(2007)?Valley-Contrasting?Physics?in?Graphene:?Magnetic?Moment?and?Topological?Transport.?Physical
Review
Letters99(23):236809.
4.
施仲诚,房鸿.紧束缚近似方法在计算石墨烯能带中的应用[J].西安工业大学学报,2011,31(6):528-532.?
5.
胡海鑫,张振华,刘新海,
等.石墨烯纳米带电子结构的紧束缚法研究[J].物理学报,2009,58(10):7156-7161.?
6.
[5]牛群磊,赖国霞,黄小兰,
等.Si-P掺杂石墨烯的稳定性和能带结构的理论研究[J].广东石油化工学院学报,2017,27(1):51-53,58.
7.《紧束缚方法计算石墨烯能带结构》出自：卡耐基范文网
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