二项式定理教学设计
篇一：二项式定理教学设计
二项式定理
一、教学目标
1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用
2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
二、教学重点、难点
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别
三、教学过程
创设问题情境：
今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8
100
天后星期几呢？
前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几
新课讲解：
问题1 ?a?b?d??c?的展开式有多少项？有无同类项可以合并？
由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。
问题2 ?a?b??b的?a?b?原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成??a的？有规律吗？
学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ?a?b???b?a??a
2
b?a?b??的
3
原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？
是哪几项？
学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ?a?b???b?a??a
??b?a?的b?a?b?的原始展开式有多少项？
4
4
问题5 你能准确快速地写出?a?b?的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？
此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）
启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中
问题6 其个数，为何恰好应为该项的系数？
n?rr
问题7 ?a?b?在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？
n
问题8 那么，该如何将?a?b?轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出
n
?a?b?
n
0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?
我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？
思路：证明中主要运用了计数原理！
① 展开式中为什么会有那几种类型的项？
?a?b?
n
是n个?a?b?相乘，展开式中的每一项都是从这n个?a?b?中各任取一个字母相
n?k
乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？
bk的形式，k?0,1,2,?,n
k
an?kbk是从n个?a?b?中取k个b，和余下n?k个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到
kan?kbk，因此，该项的系数为Cn
定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
?a?b?
n
0n1n?1n2n?22kn?kknn
?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?
n
注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做?a?b?的二项展开式
（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开
例：把b换成?b，则
?a?b?
n
0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?
k
n
练习：令a?1,b?x，则
?1?x?
n
01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?
问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性
公式特征：
（1） 项数：共有n?1项
（2） 指数规律： ① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式） ② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n
kn?kk（3） 二项式展开式的通项：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n
012knk（4） 二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k?0,1,2,?,n）称为二,Cn,Cn,?Cn?,Cn
项式系数
现在同学们能告诉老师8
100
天后星期几吗？
思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以
n
8100??7?1?展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn?1，故
100
应为星期四。
?
例1
求?的展开式
?方法一：直接展开
1
???1
技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成?2x2?x2?
??
6
6
方法二：先合并化简，再展开
建议用第二种方法简单些。
变式一：展开式中的常数项是多少？ 变式二：展开式中的第3项是多少？
变式三：展开式中的第3项的系数是多少？ 变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？
注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。
例2 （1）求(1?2x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数
1??3
（2）?x??的展开式中x的系数和中间项
x??例3 求(x?a)12的展开式中的倒数第4项 小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征
（2）区别二项式系数、项的系数
（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。 作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到8
100
9
天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析 的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各
项系数的规律.
一、说教材
1、地位及作用：
二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。 2、重点难点分析：
重点：
（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式系数的规律。 （2）能够应用二项式定理、对二项式进行展开。 难点：
运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。 A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。 B.过程与方法
通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力。 C.情感态度与价值观
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。
（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。
三﹑说教法和学法
1、教法
为了完成本节课的教学目标，让学生主动探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用多媒体辅助教学方法，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。
2 、学法
根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。
3 、教学手段
利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的的兴趣。
篇二：《1.3.1二项式定理》教学设计
《1.3.1二项式定理(第一课时)》教学设计
09应数三班 姜宏菊 1号
一、 教材分析
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识。
二、 学情分析
认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方和数列的有关知识，对于组合已经有了初步的认识。
能力分析：学生能够运用所学知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、 教学目标
1、知识与技能目标 （1）、能利用计数原理证明二项式定理 （2）、理解掌握二项式定理，并能简单应用 （3）、能够区分二项式的系数与二项展开式的系数 2、过程与方法目标
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设， 3、情感与态度目标 通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
四、 教学重难点
（1）、教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用 （2）、教学难点：二项式定理中单项式的系数 （3）、教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受。
五、 教学学法
为了突破难点，突出重点，我先采用设疑法将学生的兴趣吸引到课堂中来，然后让学生利用计数方法解决两个问题，随后应用归纳猜想的方法得出本节课的重点，层次分明，起点
低，落点高，达到了低步伐高效率。在后面的教学中我注意到我班学生的本身特点，采用探究，思考，自主练习，提问的方式学习这节课的。
六、 教学过程
七、 板书设计
篇三：优质课教案-二项式定理
授课内容
二项式定理（1）
特定项的求法
授课人 姚红雨
二项式定理复习课计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。 高考要求：
1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标： 知识与技能
（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。 过程与方法
在教学中中教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。在解题时树立由一般到特殊的解决问题的意识。
情感、态度、价值观
通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点
运用展开式的通项公式求展开式的特定项 教学难点
转化思想的培养 教学方法 讲练结合 学法指导
在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。 教学过程 1.知识点归纳
（任务1）写出二项式定理。
?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二项式
定理，右边的多项式叫做?a?b?的二项式展开式。
n
（问题1）二项式系数是什么？通项是什么？
（热身练习1）按二项式定理展开（1）?1?x?（2）?1?2x?
n
3
（问题2）系数和二项式系数是什么？ （热身练习2）求取下式的指定项
?21?x??（1） 求二项式???的展开式中的常数项；
2x??
（2） 在x2?2?3x?的展开式中，x项的系数为
6
5
10
例题组
1、（1）求x2?2x?1展开式中的x的系数.（2）、求(1?x?x2)6展开式中x5的系数． （3）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；
（1）分析：很明显该式是一个完全平方式，可以转化为二项式定理。
解：完全平方法： x2?2x?1=?x?1?
6
??
3
3
??
3
rr
通项Tr?1???1?C6x，取r=3
r
得x的系数为-20。
（2）分析：(1?x?x2)6不是二项式，我们可以通过1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二项式展开．
解：组合为两项展开观察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2 ?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??
53555其中含x的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．
5
3
??
6
5
含x项的系数为6．
组合为两项通项公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)
r2通项Tr?1?C6x?x
??
6
??
r
再对x?x2
??使用通项公式
r
TS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s
得到Tr?1?C6Crs??1?xr?s
r
s
??
s
这里0?r?6，0?s?r
5
其中含x的项需满足r?s?5，满足条件的r、s记为?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?
∴x项的系数为6．
排列组合法：本题还可通过把(1?x?x)看成6个1?x?x相乘，每个因式各取
26
2
5
一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到
5
． C5x6
1323个因式中取x，一个取?x2，两个取1得到C36?C3x?(?x)． 2221个因式中取x，两个取?x2，三个取1得到C16?C5x?(?x)． 5311255合并同类项为(C5，项的系数为6． x?CC?CC)x?6x66365
（3）分析：本题可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；
解：局部展开法：注意到x次数不高，对其局部展开
5
?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??
展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x5项，可以得到C10x； 4
用(1?x)3展开式中的一次项乘以(1?x)10展开式中的x项可得到
310
4445
(?3x)(C10x)??3C10x；
3335
用(1?x)中的x乘以(1?x)展开式中的x可得到3x2?C10x?3C10x； 2225用 (1?x)中的x项乘以(1?x)展开式中的x项可得到?3x3?C10x??C10x，
5
32103
33102
合并同类项得x项为：
5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．
变式练习1：
1??
1、求?x??1?的展开式中的常数项。(资料基7)
x??
?1?1??2、1?x?（资料综1） ??展开式中的常数项为（ ）x??
6
5
??
10
A．1 B. 46C. 4245D. 4246
1??
2、若?x??2?的展开式的常数项为?20，求n．
x??
分析：题中x?0，当x?0时，把三项式
n
1???x??2?
x??
n
n
11????
转化为?x??2???x??
xx????
2n
n2n
；当x?0时，同理
11???n?然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n． ?．?x??2??(?1)??x?
x?x????
11????
解：当x?0时?x??2???x??，其通项为
xx????
r2n?r
Tr?1?C2(?n(x)
n2n
1rr2n?2r
， )?(?1)rC2n(x)
x
令2n?2r?0，得n?r，
n
∴展开式的常数项为(?1)nC2n；
11????
当x?0时，?x??2??(?1)n??x??，
x?x????
n
同理可得，展开式的常数项为(?1)nC2n． n无论哪一种情况，常数项均为(?1)nC2n．
n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐个代入，得n?3．
n2n
?1?
x??3、在???的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 2x??
有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
n
Tr?1
n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r
2?2x?
r
2n?3r
4
前三项的r?0,1,2.
1
得系数为：t1?1,t2?Cn
由已知：2t2?t1?t3∴n?8 通项公式为
1111?n,t3?C2?n(n?1)， n2248
1
n?1?n(n?1)，
8
1
Tr?1?Crx
2
r8
16?3r4
r?0,1,2?8,Tr?1为有理项，故16?3r是4的倍数，
∴r?0,4,8.
44
依次得到有理项为T1?x,T5?C8
1351281?2
x?x,T?Cx?x． 9848282256
（变式练习2） （1）求
x?x展开式中的有理项。（资料360 变1）
n
?
9
1??
（2）记?2x??的展开式中第m项的系数为bm，若b3?2b4，则n5）
x??
课时小结
本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项，对于二项展开式运用通项公式。对于三项展开式转化为二项展开或者运用组合知识讨论解决；遇到n不确定的首先确定n。 课后作业
?1?3x??1.、若???的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含有x的整数次幂的项共
x??
有（ ） （资料基3）
A．2 B. 3 C. 5 D. 6
n
1??
2、在?x2?3?的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）（资料基5）
x??
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
3、在?x?1??x?2??x?3??x?4??x?5?的展开式中，x项的系数为（ ） （资料综3）
4
n
A．-15B. 85C. -120D. 274
4、(2?3)100的展开式中含有多少个有理项？
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