二项式定理教学视频
篇一：人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计
《二项式定理（一）》教学设计
一、教学内容解析
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。
二、学情分析
学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此
本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
三、教学目标设置
1.知识技能目标
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。
2.过程与方法目标
通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。
3.情感、态度、价值观目标
培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。
四、教学重点、难点
重点：用两个计数原理分析(a?b)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。
难点：用两个计数原理分析推导(a?b)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。
五、教学过程
篇二：人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)
课题： 1.3.1二项式定理
（人教A版高中课标教材数学选修2-3）
《二项式定理》教学设计
一、教学内容解析
《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．
二、教学目标设置
新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：
1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．
2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．
3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．
三、学情分析
１．有利因素
授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节(a?b)n展开式中各项系数的研究会有很大帮助．
２．不利因素
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．
四、教法策略分析
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．
本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．
五、教学过程
引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：(a?b)2?？ (a?b)3?？ (a?b)4?？那么(a?b)9????(a?b)n的展开式是什么？
【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．
（二）体验感知 探究归纳
1．归纳特点总结规律．
【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．
2．项的结构特点．
（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，(a?b)的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项． n
【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．
本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．
（三）知识建构 形成定理
0n1n?1kn?k
knn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab
???Cnb(n?N*)—— 二项式定理
证明：(a?b)n是n个(a?b)相乘，每个(a?b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ann?kbk(k?0,1,?n)的形式，对于每一项an?kbk，它是由k个(a?b)选了b，n－k个(a?b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a?b)
k中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理的公式特征：
①展开式中每一项的次数都是n；
②展开式共n?1项；
③按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n；
kn?kkkn?kk④Cnab是展开式的第k?1项； Cnab叫二项展开式的通项，用Tk?1表示．
k⑤各项的系数Cn(k?0,1,?n)叫二项式系数．
【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．
（四）巩固新知 提升能力
【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．
（五）回顾反思 归纳总结
知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；
思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．
【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．
（六）课下作业 思维延伸
一、P36: 1~3
二、1.
求12的展开式的中间一项； 31101)展开式中含5的项的系数． 2xx
222.求(1?思维延伸： 探究(a?b?c)5的展开式中abc的系数．
【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．
六、板书设计
教学设计说明
高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神．数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用．新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系．
本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段．努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题．例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准备了(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知．
问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中．本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升．在探究的环节，教师的作用是“激
活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来．
教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果．本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力．学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果．
点评
《二项式定理》作为一节命题课，更应该重视学生数学素养的培养，良好思维品质的生成．何磊老师深读课标和教材，清晰制定了具体可测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点，设计了层层递进数学问题；以学生为主体，给学生足够的思考空间和辨析研讨的机会，激发了学生深层次的思考；何老师数学功底扎实，教学功底雄厚，教学有张有弛，当学生需要帮助时，给学生隐性的帮助，在关键时刻又有恰当和明确的概括提升．其教学特色主要体现在：
1.突出核心内容，深挖数学本质
作为计数原理的应用，提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源．但在大量的课堂观察中发现，很多老师规避这一教学难点，仅从外在形式上分析和记忆．导致学生在用二项式定理解决问题时，难以有效的迁移．何老师则是充分理解教材和学生的基础上，充分地运用计数原理分步、分类的教学思想，有效的化解了这一重点和难点．
2.目标明确具体，问题层层递进
高效率的课堂，必须有具体可测的教学目标和具体可操作的数学问题．何老师的这节课主要围绕(a?b)n展开式中项的形式和项的系数，展开问题驱动，使学生始终围绕这一核心展开思考，使学生的思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中，认知结构和解决问题的能力在潜移默化中得以提升．
3.关注学生主体，激发深层思考
学生探究意识强烈，学习积极性高．何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛，通过让学生口述、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人，激发了学生深层次的思考，从而深化对知识的理解．
4.高效驾驭课堂，适时概括引领
作为课堂的设计者和组织者，既要重视学生的主体，也不能忽视教师的概括引领．何老师的教学设计高观点，教学展开低起点，教学概括明确适时．尤其是数学思想方法渗透到位．何老师十分重视数学思想方法的渗透，以问题为载体，通过观察、归纳、类比、猜想、证明，教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略，使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系．
思维的升华从有价值的思考开始，学生良好的思维品质的培养，需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成．我觉得何老师很好的诠释了二项式定理，并带学生较好的领悟了二项式定理的本质，是一节好课．
篇三：优质课教案-二项式定理
授课内容
二项式定理（1）
特定项的求法
授课人 姚红雨
二项式定理复习课计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。 高考要求：
1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标： 知识与技能
（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。 过程与方法
在教学中中教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。在解题时树立由一般到特殊的解决问题的意识。
情感、态度、价值观
通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点
运用展开式的通项公式求展开式的特定项 教学难点
转化思想的培养 教学方法 讲练结合 学法指导
在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。 教学过程 1.知识点归纳
（任务1）写出二项式定理。
?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二项式
定理，右边的多项式叫做?a?b?的二项式展开式。
n
（问题1）二项式系数是什么？通项是什么？
（热身练习1）按二项式定理展开（1）?1?x?（2）?1?2x?
n
3
（问题2）系数和二项式系数是什么？ （热身练习2）求取下式的指定项
?21?x??（1） 求二项式???的展开式中的常数项；
2x??
（2） 在x2?2?3x?的展开式中，x项的系数为
6
5
10
例题组
1、（1）求x2?2x?1展开式中的x的系数.（2）、求(1?x?x2)6展开式中x5的系数． （3）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；
（1）分析：很明显该式是一个完全平方式，可以转化为二项式定理。
解：完全平方法： x2?2x?1=?x?1?
6
??
3
3
??
3
rr
通项Tr?1???1?C6x，取r=3
r
得x的系数为-20。
（2）分析：(1?x?x2)6不是二项式，我们可以通过1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二项式展开．
解：组合为两项展开观察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2 ?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??
53555其中含x的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．
5
3
??
6
5
含x项的系数为6．
组合为两项通项公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)
r2通项Tr?1?C6x?x
??
6
??
r
再对x?x2
??使用通项公式
r
TS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s
得到Tr?1?C6Crs??1?xr?s
r
s
??
s
这里0?r?6，0?s?r
5
其中含x的项需满足r?s?5，满足条件的r、s记为?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?
∴x项的系数为6．
排列组合法：本题还可通过把(1?x?x)看成6个1?x?x相乘，每个因式各取
26
2
5
一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到
5
． C5x6
1323个因式中取x，一个取?x2，两个取1得到C36?C3x?(?x)． 2221个因式中取x，两个取?x2，三个取1得到C16?C5x?(?x)． 5311255合并同类项为(C5，项的系数为6． x?CC?CC)x?6x66365
（3）分析：本题可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；
解：局部展开法：注意到x次数不高，对其局部展开
5
?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??
展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x5项，可以得到C10x； 4
用(1?x)3展开式中的一次项乘以(1?x)10展开式中的x项可得到
310
4445
(?3x)(C10x)??3C10x；
3335
用(1?x)中的x乘以(1?x)展开式中的x可得到3x2?C10x?3C10x； 2225用 (1?x)中的x项乘以(1?x)展开式中的x项可得到?3x3?C10x??C10x，
5
32103
33102
合并同类项得x项为：
5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．
变式练习1：
1??
1、求?x??1?的展开式中的常数项。(资料基7)
x??
?1?1??2、1?x?（资料综1） ??展开式中的常数项为（ ）x??
6
5
??
10
A．1 B. 46C. 4245D. 4246
1??
2、若?x??2?的展开式的常数项为?20，求n．
x??
分析：题中x?0，当x?0时，把三项式
n
1???x??2?
x??
n
n
11????
转化为?x??2???x??
xx????
2n
n2n
；当x?0时，同理
11???n?然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n． ?．?x??2??(?1)??x?
x?x????
11????
解：当x?0时?x??2???x??，其通项为
xx????
r2n?r
Tr?1?C2(?n(x)
n2n
1rr2n?2r
， )?(?1)rC2n(x)
x
令2n?2r?0，得n?r，
n
∴展开式的常数项为(?1)nC2n；
11????
当x?0时，?x??2??(?1)n??x??，
x?x????
n
同理可得，展开式的常数项为(?1)nC2n． n无论哪一种情况，常数项均为(?1)nC2n．
n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐个代入，得n?3．
n2n
?1?
x??3、在???的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 2x??
有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
n
Tr?1
n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r
2?2x?
r
2n?3r
4
前三项的r?0,1,2.
1
得系数为：t1?1,t2?Cn
由已知：2t2?t1?t3∴n?8 通项公式为
1111?n,t3?C2?n(n?1)， n2248
1
n?1?n(n?1)，
8
1
Tr?1?Crx
2
r8
16?3r4
r?0,1,2?8,Tr?1为有理项，故16?3r是4的倍数，
∴r?0,4,8.
44
依次得到有理项为T1?x,T5?C8
1351281?2
x?x,T?Cx?x． 9848282256
（变式练习2） （1）求
x?x展开式中的有理项。（资料360 变1）
n
?
9
1??
（2）记?2x??的展开式中第m项的系数为bm，若b3?2b4，则n5）
x??
课时小结
本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项，对于二项展开式运用通项公式。对于三项展开式转化为二项展开或者运用组合知识讨论解决；遇到n不确定的首先确定n。 课后作业
?1?3x??1.、若???的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含有x的整数次幂的项共
x??
有（ ） （资料基3）
A．2 B. 3 C. 5 D. 6
n
1??
2、在?x2?3?的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）（资料基5）
x??
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
3、在?x?1??x?2??x?3??x?4??x?5?的展开式中，x项的系数为（ ） （资料综3）
4
n
A．-15B. 85C. -120D. 274
4、(2?3)100的展开式中含有多少个有理项？
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