二项式定理典型例题

篇一：二项式定理十大典型例题配套练习

中国领先的个性化教育品牌

精锐教育学科教师辅导讲义

篇二：二项式定理知识点及跟踪典型例题

二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）

[重点，难点解析]

1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:

式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且

2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性： ②增减性和最大值:

先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为

.

；n为奇,

叫二项

, 注意项的系数和二项式系数的区别.

数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为 ③

[例题分析]:

一、与通项有关的一些问题

例1．在的展开式中，指出 1）第4项的二项式系数 2）第4项的系数 3）求常数项

解:

展开式的通项 1）

，二项式系数为

；

.

；

为展开式中的第r+1项.

2）由1）知项的系数为

3）令6-3r=0, ∴ r=2, ∴ 常数项为

例2．若

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

分析:

通项为,

1

∵ 前三项的系数为，且成等差，∴

即

解得:n=8.

从而

，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.

例3．1）求

解:

的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.

1）

令6-2r=0, r=3,∴ 常数项为

通项

.

，

2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 ∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为

，因而其系数为240.

例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.

10

分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而abc的系数为

例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.

分析:

（法一）展开式中x项是由各二项展开式中含x项合并而形成.因而系数为

3

3

532

.

2

（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式

= 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为

二、有关二项式系数

的问题.

.

,

例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.

分析:二项式系数最大的为第5项，

解得:x=1或.

例7．的展开式中系数最大的项为第______项.

分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大，

则

三、赋值法:

例8．已知

解得:， ∴ r=7, 因而第8项系数最大.

1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+……+|a5|

分析:

1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,∴ (1-0)5=a0, ∴ a0=1.

2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.

3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2

3

4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5）

因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， ∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.

小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.

例9．已知则n=_________.

分析:令x=1，则

由已知， 2n+1-2=62, ∴ 2n+1=64, ∴ n=5.

例10．求

分析:

研究其通项

.

n

, 其中b0+b1+b2+……+bn=62,

,

的展开式中有理项系数的和.

显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an令t=-1， 即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan

上两式相加，解得奇数项系数和

四、逆用公式

.

432

例11．求值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1 解

:

例12．求值:

原式=

4

五、应用问题

2n+2

例13．求证:3-8n-9能被64整除.

证明:

能被64整除.

92

例14．91除以100的余数为________.

分析:9192=(90+1)92

∴ 被91100除的余数为81.

小结:若将91整理成(100-9)

92

92

92

随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.

例15．求0.9983的近似值（精确到0.001) 解

:

选择题

1．(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（ ）

A、

B、

C、

D、

2．在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（ ）

A、-297

B、-252

C、297

D、207

3．如果展开式(1+x)2·(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（ ）

A、2B、3 C、4 D、5

5

篇三：二项式定理经典习题及答案

二项式定理

1. 求(x?

2

19

)展开式的： 2x

（1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x的系数。

5

分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C9?126；

9

（2）T3?C9?(x)?(?（3）Tr?1?C9?(x)系数是(?)C9??

51

227

12

)?9x12，故第3项的系数为9； 2x

1r1r)?(?)rC9?x18?3r，令18?3r?9，故r＝3，所求2x2

r29?r

?(?

1

2

33

21 2

2. 求证：51?1能被7整除。

01515151

分析：5151?1?(49?2)51?1?C514951?C514950?2???C5149?250?C512?1，5151除C512?1以外各项都能被7整除。

510171161617

又C51?251?1?(23)17?1?(7?1)17?1?C177?C177???C177?C17?1

显然能被7整除，所以51?1能被7整除。 3. 求91除以100的余数。

019192分析：9192?(90?1)92?C92 9092?C929091???C9290?C92

9192由此可见，除后两项外均能被100整除，而C9290?C92?8281?82?100?81

92

51

故91除以100的余数为81。

4.（2009

北京卷文）若(14?a?a,b为有理数），则a?b?A．33 B． 29C．23 D．19 【答案】B

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

.w

92

∵1?

4

?C

04

?C

14

?C

1

24

2

?C

34

?C

3

44

4

?1?12?4?17?

由已知，得17??a?a?b?17?12?29.故选B.

5.（2009北京卷理）

若(15?a?a,b为有理数），则a?b?（ ）

A．45 B．55C．70D．80 【答案】C

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

∵

?

15

?C

05

?C

15

?C

1

25

2

?C

35

?C

3

45

4

?C

55

5

?1?20?20??41?

由已知，得41??a?a?b?41?29?70.故选C. 6. 已知(x?

12x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项Tr?1，讨论常数项和有理项对r的限制。

解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，Cn()，Cn()

1

12

2

12

2

且

1112

2Cn?()?1?Cn?()2

22

即n?9n?8?0 解得n＝8或n＝1（舍去）

2

?Tr?1?C(x)

r

8

8?r

3r

C8r16?

(?)?(?1)rx4

22x

1

rr

（1）若Tr?1为常数项，当且仅当展开式中没有常数项。

（2）若Tr?1为有理数，当且仅当

16?3r

?0，即3r?16，而r?Z，这不可能，故416?3r

为整数。 4

?0?r?8，r?Z

?r?0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，T1?x4，T5?

12

7. （1）如果1?2Cn?22Cn?

351?2

x，T9?x 8256

n012n

?2nCn?2187，则Cn?Cn?Cn??Cn?

n?1n

（答：(n?2)?2） ?(n?1)Cn

9

?a9x，则a0?a1?|a2|?

128）；

012

（2）化简Cn?2Cn?3Cn?92已知(1?3x)?a0?a1x?a2x?

?|a9|等于_____

（答：4）；

（2）(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?

＋)?a2004x2004，则(a0?a1)?(a0?a2

（答：2004）；（3）设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n,?(a0?a2004)＝_____则a0?a2???a2n

9

3n?1

）。 ?_____（答：2

8．（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上

往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．

第1行1 1 第2行101 第3行 1111 第4行 10001

第5行110011 ??????????????

图1

【答案】2?1，32 9．（04. 上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第

___34 __行中从左至右第14与第15个数的比为2:3. 第0行 1

n

第1行11

第2行 121 3行1331 第 第4行 14641 第5行15 10 10 51 ???? ??

10.（2009江西卷理）(1?ax?by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为

A．a?2,b??1,n?5B．a??2,b??1,n?6 C．a??1,b?2,n?6D．a?1,b?2,n?5.

答案：D

【解析】(1?b)n?243?35，(1?a)n?32?25，则可取a?1,b?2,n?5，选D 11.(2009湖北卷理)

设n??

?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n，则2

lim[(a0?a2?a4?...?a2n)2?(a1?a3?a5?...?a2n?1)2]? A.?1 B.0 C.1

D 【答案】B

【解析】令x?

0得a0?令x?

1时2n1?n 2

?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 1)2n?a0?a1?a2?????a2n

令x??

1时?1)2n??1)2n

两式相加得：a0?a2?????a2n?

21)2n?1)2n

两式相减得：a1?a3?????a2n?1? 2

代入极限式可得，故选B

12.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则..

【答案】40

r

【解析】因为Tr?1?C5?(ax)r∴..解得a?2,b?40 13.（2009四川卷文）(2x?

m

16

)的展开式的常数项是 （用数字作答）2x

【答案】－20

1r

)?(?1)rC6r26?2rx6?2r，令6?2r?0，得r?3 2x3

故展开式的常数项为(?1)3C6??20

【解析】Tr?1?(?1)C6(2x)

r

r

6?r

(

14.(2009湖南卷理)

在(1?x)3?(12?(1的展开式中，x的系数为用数字作答) 【答案】：7

. 23【解析】

由条件易知(1?x)3,(13,(13展开式中x项的系数分别是C1即3,C3,C3，

所求系数是3?3?1??7

15.（2009浙江卷理）观察下列等式：

15

C5?C5?23?2，

159

C9?C9?C9?27?23， 15913C13?C13?C13?C13?211?25， 1593

C1C1?7?C1?7C?171C7

17

?27?125， 1

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

159

对于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1?

*

4n?1

?C4n?1?.

答案：2

4n?1

???1?22n?1

n

n

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有??1?，二项指

数

分

别

为

24n?1,22n?1

，

n

因此对于

n?N*

，

159

C4n?1?C4n?1?C4n?1?

4n?1

24n?1???1?22n?1 ?C4n?1?

16.在(x2＋3x＋2)5的展开式中，x的系数为

A.160 B.240 C.360 D.800

223310103

17.已知S＝C110(x?1)?C10(x?1)?C10(x?1)???C10(x?1)在S的展开式中，x项的系数为

34A.C10?C10???C1010

3452107B.C10?C10C14?C10C5???C10C10 C.0 D.1

18.(2002年全国高考题)(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是_________.

答案: 1008

19.(x?1)4?(x?1)5展开式中x4的系数为

A.－40 B.10

C.40 D.45

20.已知(x2＋3x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.

答案：(1)270x

?

223

(2)405x

263

1232nn?1

21.设n?N，则Cn?Cn6?Cn6???Cn6?。

12233nn

解：由二项式定理得1?Cn6?Cn6?Cn6???Cn6?(1?6)n，即1232nn?1

1?6(Cn?Cn6?Cn6???Cn6)?7n，故原式?

1n

(7?1)。 6

22. 在(x?2)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x?（ ）

A.2

3008

3008

2时，S等于

B.?2 C.2

3009

D.?2

3009

解：令(x?2)2006?a0?a1x?a2x2?a3x3???a2005x2005?x2006， 取x?

2,x??2，分别得

a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3???x2006?0 a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3???x2006?23009

两式相减得2a1?(2)3a3???(2)2005a2005??23008 故选B项。

23. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）

A.4200元 ~ 4400元 B.4400元 ~ 4600元 C.4600元 ~ 4800元 D.4800元 ~ 5000元 解：2008年农民工资性收入为

12

1800(1?0.06)5?1800(1?C5?0.06?C5?0.062)

(1?0.3?0.036) ?1800

?1800?1.336?2405（元）

又2008年农民其它人均收入为1350?160?5?2150（元） 故2008年农民人均总收入约为2405?2150?4555（元）。 故选B项。

24.（2003）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，（1）求和：

120123

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正a1C02?a2C2?a3C2，a1C3?a2C3?a3C3?a4C3；122

整数n的一个结论，并加以证明。[（1）a1C02?a2C2?a3C2?a1(1?q)；

0233

（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项a1C3?a2C13?a3C3?a4C3?a1(1?q)；123nn

为a1，公比为q的等比数列，则a1C0n?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)an?1Cn

?a1(1?q)n(n?N)，证明略]

《二项式定理典型例题》出自：创业找项目
链接地址：http://m.gjknj.com/duwu/5186.html 转载请保留,谢谢!