二项式定理公式
篇一：二项式定理公式、各种例题讲解及练习
二项式定理例题讲解
分
类 计 数 原 理
做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办
做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，
法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方
第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成
法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件
这件事共有：N=m1 m2 … mn种方法。
事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列
组合
分 步 计 数 原理
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
排列数
n个不同的元素中取m个元素的组合。 组合数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm
排列数，记为Pnm
选排列数
全排列数
二项式定理
(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
二项展开式的性质
(3)二项式系数：
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
例1．试求：
25
)的展开式中x5的系数； 2x1
（2）(2x2－)6的展开式中的常数项；
x
（1）(x3－
（3）(x－1)9的展开式中系数最大的项；
（4）在(x?2)100的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）Tr＋1＝C5(x)
r
35?r
(?
2r
)?(?2)rC5rx15?5r 2x
依题意15－5r＝5，解得r＝2
r
故(－2)2C5＝40为所求x5的系数 r
（2）Tr＋1＝C6(2x2)6
－ r
1r12?3r
(?)r＝(－1)r·26－ r·C6 xx
依题意12－3r＝0，解得r＝4
2
故(?1)·22C6＝60为所求的常数项． r9?r
（3）Tr＋1＝(?1)C9x
r4
45
∵C9?C9?126，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1
∴ T5＝126x5是所求系数最大的项 （4）Tr＋1＝C
r
100
(x)
100?r(2)?C
r
r100
?3
50?
r2
?2x100?r,
r3
要使x的系数为有理数，指数50－
rr
与都必须是整数， 23
因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z）， 又0≤6k≤100，解得0≤k≤16
2
（k∈Z） 3
∴x的系数为有理数的项共有17项．
评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．
例2．试求：
（1）(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；
（2）(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数；
??1?（3）x??2???的展开式中的常数项. x??
解：（1）∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…
∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ (x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5
3
(x?1){1?[?(x?1)]5}(x?1)?(x?1)6
＝ ?
1?[?(x?1)]x
3
∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数?C6＝-20
6
??1??2?（3）∵ x???x??
3
?1??? x?=
??x??
3
∴ 所求展开式中的常数项是-C6＝－20
评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．
例3．（1）已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；
（2）已知(ax＋1)7（a≠0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值； (3)已知(2x＋x
1gx8
)的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．
31
解：（1）依题意Cn，即?7Cn
n(n?1)(n?2)
＝7n
6
由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8
523443
(2) 依题意C7a?C7a?2C7a
由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±（3）依题意T5＝C8(2x)(x
整理得x4(1
＋lgx)
5
44lgx4
)＝1120，
＝1，两边取对数，得
lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1 ∴x＝1或x＝
1 10
评述 (a＋b)n的展开式及其通项公式是a，b，n，r，Tr＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数
与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．
例4．（1）若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于 ；
1210（2）1＋2C10＝． ?4C10???210C10
解（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2?3)4，
令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝(3?2)4， 由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)( a0－a1＋a2－a3＋a4) ＝[(3?23?2)]4＝1
10
（2）在(1＋x)＝
?
r?0
10
rr
C10x中，
1210
令x＝2，得1＋2C10?4C10???210C10?310?59049
n
评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a＋b)＝
n
r?10
?
rn?rr
Cnab为恒等式．
二项式定理练习题
1．在x???
10
的展开式中，x的系数为
4
B．27C10
6
6
C．?9C10
4
D．9C10
（ ）
6 A．?27C10
2． 已知a?b?0,b?4a， ?a?b?n的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n
等于
A．4
B．9
C．10
D．11
（ ）
3．已知（a?
1
a2
)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）
D．13
D．7
D．1.34
A．10B．11C．12 4．5310被8除的余数是 A．1 B．2 C．3 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是
A．1.23 B．1.24 C．1.33
n
（ ） （ ）
1?6．二项式??2x?? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是
x??
A．1
B．2
C．3
（ ） D．4
7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是
A．1
2
1312
n2
B．1
5
C．2
（ ） D．3
8．在(1?x?x2)6的展开式中x的系数为
A．4 9．(
x
（ ）
B．5 C．6 D．7
n
展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 ?x)
（ ）
A．330 B．462
4
C．680 D．790 D．45
（ ）
10．(x?1)4(x?1)5的展开式中，x的系数为
A．－40
B．10
C．40
11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
值为
A．
（ ）
5
，则x在[0，2π]内的2
???5?或B．或
6636
?2??5?C．或 D．或
6333
12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的
A．第2项
B．第11项C．第20项
D．第24项
（ ）
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．(x?
2
19
)展开式中x9的系数是. 2x
14．若2x?3
??
4
?a0?a1x?????a4x4，则?a0?a2?a4?2??a1?a3?2的值为__________.
15．若 (x?x)的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是. 16．对于二项式(1-x)
1999
?2n
，有下列四个命题：
1000
①展开式中T1000= －C1999
x
999
；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)
1999
除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若(x?
1
x
)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
篇二：排列 组合 二项式定理公式
分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理
做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中法……，第n类办法中有mn种方法，则完成有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn这件事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。 种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列 组合 从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中
取m个元素的排列。
排列数 叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。 组合数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合元素的排列数，记为Pnm
选排列数 全排列数 数，记为Cnm
二项式定理
(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0
二项展开式的性质 起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
篇三：二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结
1．二项式定理公式：
0n1n?1rn?rrnn
(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。
r
(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn
③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式
rn?rr
④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cnaab叫做二项式展开式的通项。
rn?rr
b表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于n.
012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.
项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
0122rrnn令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0nkk?1
Cn?Cn,·Cn?Cn
012rn
②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn ?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123nn
在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn????(1)C(11)?n0n??0242r132r?1
?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????从而得到：Cn
，
1n
?2?2n?1 2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0n
(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0
?x?1, ?a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n???????????x??1,?a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n?????????(a?1)n?(a?1)n????,a0?a2?a4??an?(???????)
2
(a?1)n?(a?1)n
????,a1?a3?a5??an?(???????)
2
⑤二项式系数的最大项：
如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?Tn取得最大值。
2?1n?12,n
n?1
2n
n2n
如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Tn
2
?1
?CC
?Tn同时取
2?1
n?1n?1
得最大值,且C2n?C2n
。
⑥系数的最大项：
求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
n
r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第
?Ar?1?Ar
，从而解出r来。
A?A?r?1r?2
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