二项式定理ppt

篇一：二项式定理4

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新课标人教A版选修2—3

二项式定理

（第一课时）

课前调查：1.教学进度2. (a?b)2展开式？

3.(a?b)3=？有何规律？3a2b如何得到？ ①a降b升；②

次数和3；③系数对称

4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合

上课本，需要时再打开！

课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备? 教学过程与操作设计：

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篇二：二项式定理

二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

【梳理自测】

一、二项式定理及特点

1．(教材改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

A．9B．8

C．7 D．6

2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )

A．80 B．40

C．20 D．10

1x3－?5的展开式中的常数项为( ) 3．(教材改编)二项式?x??

A．10 B．－10

C．－14 D．14

答案：1.B 2.B 3.A

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)二项式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数Crn(r＝0,1，?，n)

－rn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana

(2)二项展开式形式上的特点

①项数为n＋1.

②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

1n－1④二项式的系数从C，Cn，一直到Cn，C.

二、二项式系数的性质

1x－n的展开式中第3项的二项式系数是15，1．若?则展开式中所有项系数之和为( ) ?211 3264

11C．－ D. 64128

13x－?n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为( ) 2．若?x??

A．－5 B．5

C．－405 D．405

答案：1.B 2.C

◆以上题目主要考查了以下内容：

rn－r(1)Cn＝Cn(r＝0,1，?，n)

(2)增减性与最大值：

n＋1二项式系数Ck当k＜二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐n，2

n－1n＋1n减小的；当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项CCn，222

n取得最大值．

012nn02413(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；Cn＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋

－5Cn＋?＝2n1【指点迷津】

1．一个防范

n－rr运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具na

体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．

2．一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．

3．两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．

[对应学生用书P172]

考向一 二项展开式中的特定项或系数

________.

2x25展开式中的常数项为( ) (2)(2013·高考江西卷)?x?

A．80B．－80

C．40 D．－40

【审题视点】 根据二项展开式的通项公式，令x的次数为4，则为x4的项，含x的次数为0，则为常数项．

?a?3334435【典例精讲】 (1)含x的项为C8x?3?＝C8ax， ??

13∴C3a＝7，∴a82?x＋a?84(1)(2013·高考安徽卷)若?3?的展开式中，x的系数为7，则实数a＝??

2－?10－2rr－3rrr10－－r＝Cr(2)设展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr(x2)5r··x·(－2)·x＝C·(－2)·x5·55?x5r2.若第r＋1项为常数项，则10－5r＝0，得r＝2，即常数项T3＝C5(－2)2＝40.

1【答案】 (1)(2)C 2

【类题通法】 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

11．(2014·浙江省温州市调研)(x－)6的展开式中的常数项是________． 2x

1113r6－r解析：二项式(x－6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr(－r＝(－rCr 6(x)6x3－，2x2x22

15∴当r＝2时，Tr＋1是常数项，此时T3＝. 4

15答案：4

考向二 二项展开式的系数和问题

在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和．

【审题视点】 分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值．

【典例精讲】 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋?＋a10y10，(*)各项系数和即为a0＋a1＋?＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋?＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋?＋a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

(1)二项式系数的和为

01010C10＋C110＋?＋C10＝2.

(2)令x＝y＝1，各项系数和为

(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇数项的二项式系数和为

0109C10＋C210＋?＋C10＝2，

偶数项的二项式系数和为

199C10＋C310＋?＋C10＝2.

(4)令x＝y＝1，得到

a0＋a1＋a2＋?＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋?＋a10＝510，②

①＋②，得2(a0＋a2＋?＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项的系数和为 2

①－②，得2(a1＋a3＋?＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项的系数和为2

【类题通法】 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

f?1?＋f?－1?奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋?＝ 2

f?1?－f?－1?偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋?＝2

2．(2014·福建厦门模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋?＋anxn，若a1＋a2＋?＋an＝63，则展开

式中系数最大的项是( )

A．15x2B．20x3

C．21x3 D．35x3

1n解析：选B.令x＝1，则(1＋1)n＝C0n＋Cn＋?＋Cn＝64，

33∴n＝6.故(1＋x)6的展开式中最大项为T4＝C36x＝20x.

考向三 二项式定理的综合应用

(1)求证：1＋2＋22＋?＋25n1(n∈N*) 能被31整除；

227(2)求S＝C127＋C27＋?＋C27除以9的余数；

(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．

【审题视点】 (1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系．

(3)根据展开式适当取舍．

25n－125n－1【典例精讲】 (1)证明：∵1＋2＋2＋?＋2＝ 2－1

＝25n－1＝32n－1

＝(31＋1)n－1

－1n1n－2n＝C0＋?＋Cnn×31＋Cn×31n×31＋Cn－1

－1n－1n－2＝31(C0＋C1＋?＋Cnn×31n×31n)，

－－1n－11显然C0＋Cn×31n2＋?＋Cnn×31n为整数，

∴原式能被31整除．

227279(2)S＝C127＋C27＋?＋C27＝2－1＝8－1

91889＝(9－1)9－1＝C09×9－C9×9＋?＋C9×9－C9－1

8178＝9(C09×9－C9×9＋?＋C9)－2.

8178∵C09×9－C9×9＋?＋C9是正整数，

∴S被9除的余数为7.

2255(3)1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C15×0.02＋C5×0.02＋?＋C5×0.02≈1＋5×0.02＝1.10.

【类题通法】 (1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.

(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．

(3)利用二项式定理证明不等式：由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．

3．(2012·高考湖北卷)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )

A．0B．1

C．11 D．12

解析：选D.512 012＋a＝(52－1)2 012＋a

＝C0522 012－C1522 011＋?＋C2 0112 012·2 012·2 012×52×

2 0112 0122 012(－1)＋C2 012×(－1)＋a

2 0122 0112 011∵C0－C1＋?＋C2 012×52×(－1)2 011 2 012522 01252

能被13整除，且512 012＋a能被13整除．

2 012∴C2 012＋a＝1＋a也能被13整除， 2 012(－1)

∴a可取值

12. －

[对应学生用书P173]

多次应用二项展开式通项公式搭配不全

1?5－1的展开式的常数项是( ) (2012·高考安徽卷)(x2＋2)??x?

A．－3B．－2

C．2 D．3

【正解】 利用二项展开式的通项求解．

1?5－1展开式的通项为： 二项式??x?

15－rrr2r－10r?Tr＋1＝Cr·(－1)＝Cx·(－1). 5x5·?当2r－10＝－2，即r＝4时，有

－24x2·C4(－1)4＝C45x·5×(－1)＝5；

0当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C5(－1)5＝－2. 5x·

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.

【答案】 D

12?5－1的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x【易错点】 (x2＋2)与??x?

－2与x的积也为常数．

【警示】 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．

1n1．(2013·高考重庆卷)使?3x＋(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) xx??

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：选B.根据二项展开式的通项公式求解．

55n－r?1?rn－rTr＋1＝Cr(3x)＝Crxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5nn322?xx?

时成立．

2．(2013·高考全国新课标卷)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，＋(x＋y)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解．

(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，

mm＋1∴a＝C2m.同理，b＝C2m＋1.

＋1∵13a＝7b，∴13·CmCm2m＝7·2m＋1.

?2m?！?2m＋1?！∴＝∴m＝6. m！m！?m＋1?！m！

3．(2013·高考四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)

解析：利用二项展开式的通项求解．

(x＋y)5展开式的通项是

5－rrTr＋1＝Cry， 5x

2323令r＝3得T4＝C35xy＝10xy，

∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.

答案：10

篇三：二项式定理及性质

2013-2014学年度xx学校xx月考卷

1、

在的展开式中，记项的系数为

()

，则

A.45 B.60 C.120 D.210 C

本题考查二项式定理以及组合数的运算，中档题．

由二项式定理知：

，

所以

．

2、

在的展开式中，含

项的系数为（ ）

A．

B．

C．

D．C

本题考查二项式定理???及简单的组合运算，简单题．含项为

．

3、

的展开式中

A、-20

的系数是（ ）

B、-5C、5 D、20 A

在的展开式中，第项展开式为

,

则时

,

,故选A.

本题考查：本题主要考查二项式定理

4、

若二项式A.2

的展开式中的系数是84，则实数

（）

B.

C. 1

D. C

二项式的展开式中，第项为

，得

，所以

，解得

。因此选

，令

C。

本题考查：本题主要考查二项展开式中的系数及其方程的思想。

5、

在的二项展开式中，的系数为( ).

A. C

B.C.D.

在的展开式中，第项为

，当时，为含

的项，其系数是

，故选择C.

6、

展开式中不含x项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的各

为32，则a,b,n的值可能为( ). A. C. D

，，

，，

B.D.

，，

，，

注意到

，

，7、

，因此选D.

，因此依题意得

，于是结合各选项逐一检验可知，当

时，

的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ).

A.-40 B.-20 C.20 D.40 D

对于，可令得，故.

的展开式的通项

，要得到展开式的常数项，则的x

与展开式的得

，令

相乘，

得

的与的展开式的x

相乘，故令

，从而可得常数项为

.

8、

若

（ ）．

A．2 B．0 C．-1 D．-2 C

，则的值为

令可得，所以.

再令9、

可得，因而.

在的二项展开式中，x的系数为（ ）．

A.10 B.-10 C.40 D.-40 D

因为二项式展开式的第项为

，当时，含有x，其系数为

.

【易错点拨】二项式10、

展开式的第项的二项式系数是，不是.

的展开式中常数项为( ).

A. B

B.C.D.105

二项展开式的通项，当

时，

，展开式中的常数项为11、

设，且，若能被13整除，则( ).

A.0 B.1 C.11 D.12

D

，被13整除余

能被13整除.

，结合选项可得时，

【易错点拨】造成此题错解的原因是对于较大数据的展开没有想到运用二项式定理，或除13后余12、

误当成余

.

《二项式定理ppt》出自：创业找项目
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