二项式定理教学课件
篇一：二项式定理教案
二项式定理
考点新知
①能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题． ②会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别
.
1. (选修23P32练习5改编)在(1－x)6展开式中，含x3项的系数是________．答案：－20 16
2. (选修23P32练习6改编)?x＋
?x的二项展开式的常数项为________．答案：20
1
3. (选修23P35习题7改编)?x2－n的展开式中，常数项为15，则n＝________.答案：6
?x4. (选修23P35习题12改编)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋?＋a8＝________.答案：256
3?n
5. (2011·上海理)在二项式?＋的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和
?x?为B，且A＋B＝
72，则n＝________..答案：3
1. 二项式定理
(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb(n∈N)．
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其
n－rr
中的系数C叫做二项式展(r＝0,1,2，?，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的n－rr
开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝n
0n
1n－1
rn－rr
nn
2. 二项展开式形式上的特点
(1) 项数为(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3) 字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
1n－1n
(4) 二项式的系数从0Cn，一直到Cn3. 二项式系数的性质
(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．
(2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
1nn
(3) 二项式系数的和等于n，即0(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0n－1＋C
＋?＝C＋C2.
题型1 二项式展开式的特定项
1n2
例1 如果?x－的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，
?x(1) 求展开式的中间项；
?1?n－1
(2) 求?4?展开式中所有的有理项．
?2?
1n23636
解：(1) ?x－展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是CC由Cn，n，n＝Cn，?x1126－3425
得n＝9，所以?x2－9展开式的中间项为第5项和第6项，即T5＝(－1)4C49(x)(x)?xx126－3524T6＝(－1)5C59(x)(x)x
(2) 通项为
r
Tr＋1＝C8(
－1?r
1?rr16－3r
4?＝?－C8x(r＝0,1,2，?，8)，为使Tr＋1为有
??24?2?
8－r
1?0044
理项，必须r是4的倍数，所以r＝0,4,8，共有三个有理项，分别是T1＝?－C8x＝x，?2?1?44351－2?18C8T5＝?－Cx，T. 8x＝9＝－8x?2??28256x题型2 二项式系数
11
例2 已知?x＋?n的展开式中前三项的系数成等差数列．设?x＋?n＝a0＋a1x＋a2x2
?2??2?＋?＋anxn.求：(1) a5的值；(2) a0－a1＋a2－a3＋?＋(－1)nan的值；(3) ai(i＝0,1,2，?，n)的最大值．
1121
解：(1) 由题设，得C0n＋×Cn＝2××Cn，
42即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍)． Tr＋1＝C8x
r8－r
?1?r，令8－r＝5r＝3，所以a5＝7.
?2?
1
(2) 在等式的两边取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋?＋a8＝ .
25611≥?2
2
(3) 设第r＋1的系数最大，则?11
≥?22
r8r8
r＋1＋C8r－1－C8
.
?即?11
2r9－r
118－r2?r＋1?
，解得r＝2或r＝3.
所以ai系数最大值为
7.
1. (2011·重庆理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________. 答案：7
n！n！56656
解析：由题意可得C5nn3＝Cn3，即Cn＝3Cn5！?n－5?！6！?n－6?！＝7.
2. (2011·安徽理)设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x，则a10＋a11＝________.
答案：0
10
解析：a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C21，所以a10＋a11
＝－C21＋C21＝0.
a??1?53. (2011·全国理)?x2x－的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项
?x??x?为________．
答案：40
a5?x＋1解析：令x＝1得各项系数和为?1＋(2－1)＝(1＋a)＝2，∴a＝1，所以原式变为?1?x11
10
21
2
21
?2x－15，?2x－1?5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r?－1?r＝Cr525－r(－1)rx5－2r.令5－2r＝－1，
??x?x?x?
232得r＝3；令5－2r＝1，得r＝2，所以常数项为(－1)322C35＋(－1)2C5＝40.
4. (2011·浙江理)设二项式?x－
?
a?6
(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B?
＝4A，则a＝________.
答案：2 解析：由题意，得
r6－r
Tr＋1＝C6x
?－a?r＝(－a)rCrx6－3r，∴A＝(－a)2C2，B＝(－a)4C4.
666
??2
222
又∵B＝4A，∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4. 又∵a>0，∴a＝2.
n－1n－2－1
5 若n是奇数，则7n＋C1＋C2＋?＋Cnn7n7n7被9除的余数是________． 答案：7
解析：原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9k－2＝9k′＋7(k和k′均为正整数)．
篇二：二项式定理教案
课 堂 教 学 安 排
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篇三：优质课教案-二项式定理
授课内容
二项式定理（1）
特定项的求法
授课人 姚红雨
二项式定理复习课计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。 高考要求：
1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标： 知识与技能
（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。 过程与方法
在教学中中教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。在解题时树立由一般到特殊的解决问题的意识。
情感、态度、价值观
通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点
运用展开式的通项公式求展开式的特定项 教学难点
转化思想的培养 教学方法 讲练结合 学法指导
在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。 教学过程 1.知识点归纳
（任务1）写出二项式定理。
?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二项式
定理，右边的多项式叫做?a?b?的二项式展开式。
n
（问题1）二项式系数是什么？通项是什么？
（热身练习1）按二项式定理展开（1）?1?x?（2）?1?2x?
n
3
（问题2）系数和二项式系数是什么？ （热身练习2）求取下式的指定项
?21?x??（1） 求二项式???的展开式中的常数项；
2x??
（2） 在x2?2?3x?的展开式中，x项的系数为
6
5
10
例题组
1、（1）求x2?2x?1展开式中的x的系数.（2）、求(1?x?x2)6展开式中x5的系数． （3）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；
（1）分析：很明显该式是一个完全平方式，可以转化为二项式定理。
解：完全平方法： x2?2x?1=?x?1?
6
??
3
3
??
3
rr
通项Tr?1???1?C6x，取r=3
r
得x的系数为-20。
（2）分析：(1?x?x2)6不是二项式，我们可以通过1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二项式展开．
解：组合为两项展开观察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2 ?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??
53555其中含x的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．
5
3
??
6
5
含x项的系数为6．
组合为两项通项公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)
r2通项Tr?1?C6x?x
??
6
??
r
再对x?x2
??使用通项公式
r
TS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s
得到Tr?1?C6Crs??1?xr?s
r
s
??
s
这里0?r?6，0?s?r
5
其中含x的项需满足r?s?5，满足条件的r、s记为?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?
∴x项的系数为6．
排列组合法：本题还可通过把(1?x?x)看成6个1?x?x相乘，每个因式各取
26
2
5
一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到
5
． C5x6
1323个因式中取x，一个取?x2，两个取1得到C36?C3x?(?x)． 2221个因式中取x，两个取?x2，三个取1得到C16?C5x?(?x)． 5311255合并同类项为(C5，项的系数为6． x?CC?CC)x?6x66365
（3）分析：本题可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；
解：局部展开法：注意到x次数不高，对其局部展开
5
?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??
展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x5项，可以得到C10x； 4
用(1?x)3展开式中的一次项乘以(1?x)10展开式中的x项可得到
310
4445
(?3x)(C10x)??3C10x；
3335
用(1?x)中的x乘以(1?x)展开式中的x可得到3x2?C10x?3C10x； 2225用 (1?x)中的x项乘以(1?x)展开式中的x项可得到?3x3?C10x??C10x，
5
32103
33102
合并同类项得x项为：
5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．
变式练习1：
1??
1、求?x??1?的展开式中的常数项。(资料基7)
x??
?1?1??2、1?x?（资料综1） ??展开式中的常数项为（ ）x??
6
5
??
10
A．1 B. 46C. 4245D. 4246
1??
2、若?x??2?的展开式的常数项为?20，求n．
x??
分析：题中x?0，当x?0时，把三项式
n
1???x??2?
x??
n
n
11????
转化为?x??2???x??
xx????
2n
n2n
；当x?0时，同理
11???n?然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n． ?．?x??2??(?1)??x?
x?x????
11????
解：当x?0时?x??2???x??，其通项为
xx????
r2n?r
Tr?1?C2(?n(x)
n2n
1rr2n?2r
， )?(?1)rC2n(x)
x
令2n?2r?0，得n?r，
n
∴展开式的常数项为(?1)nC2n；
11????
当x?0时，?x??2??(?1)n??x??，
x?x????
n
同理可得，展开式的常数项为(?1)nC2n． n无论哪一种情况，常数项均为(?1)nC2n．
n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐个代入，得n?3．
n2n
?1?
x??3、在???的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 2x??
有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
n
Tr?1
n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r
2?2x?
r
2n?3r
4
前三项的r?0,1,2.
1
得系数为：t1?1,t2?Cn
由已知：2t2?t1?t3∴n?8 通项公式为
1111?n,t3?C2?n(n?1)， n2248
1
n?1?n(n?1)，
8
1
Tr?1?Crx
2
r8
16?3r4
r?0,1,2?8,Tr?1为有理项，故16?3r是4的倍数，
∴r?0,4,8.
44
依次得到有理项为T1?x,T5?C8
1351281?2
x?x,T?Cx?x． 9848282256
（变式练习2） （1）求
x?x展开式中的有理项。（资料360 变1）
n
?
9
1??
（2）记?2x??的展开式中第m项的系数为bm，若b3?2b4，则n5）
x??
课时小结
本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项，对于二项展开式运用通项公式。对于三项展开式转化为二项展开或者运用组合知识讨论解决；遇到n不确定的首先确定n。 课后作业
?1?3x??1.、若???的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含有x的整数次幂的项共
x??
有（ ） （资料基3）
A．2 B. 3 C. 5 D. 6
n
1??
2、在?x2?3?的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）（资料基5）
x??
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
3、在?x?1??x?2??x?3??x?4??x?5?的展开式中，x项的系数为（ ） （资料综3）
4
n
A．-15B. 85C. -120D. 274
4、(2?3)100的展开式中含有多少个有理项？
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