二项式定理教学

篇一：二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案

1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

2、难点：二项式定理的发现。

三、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。

问题2：若今天是星期一，再过8n(n?N?)天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“8n?(7?1)n被7除后算余数”是多少，也就是研究(a?b)n(n?N?)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

2、新授

第一步：让学生展开

(a?b)1?a?b

(a?b)2?a2?2ab?b2；

(a?b)3?(a?b)2(a?b)?a3?3a2b?3ab2?b3；

(a?b)4?(a?b)3(a?b)?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4

(a?b)5?(a?b)5(a?b)?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

1 1

12 1

13 3 1

1 46 4 1

1 510105 1

问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。

预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。

问题2：以(a?b)的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

5

初步归纳出下式：

(a?b)n???an???an?1b???an?2b2???an?3b3?????bn（※）

（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）

练习：展开(a?b)7

教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。

第二步：继续设疑

如何展开(a?b)

的方法的欲望。）

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(a?b)4?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算： 100以及(a?b)(n?N)呢？ n?（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷

(a?b)4?(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)(a4?b4)

?a1a2a3a4 ???a4 ?a1a2a3b4?a1a2a4b3?a1a3a4b2?a2a3a4b1???a3b ?a1a2b3b4?a1a3b2b4?a1a4b2b3?a2a3b1b4?a2a4b1b3?a3a4b1b2 ???a2b2 ?a1b2b3b4?a2b1b3b4?a3b1b2b4?a4b1b2b3 ???ab3 ?b1b2b3b4 ???b4 （设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）

问题1：以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a,b各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？

222222

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

（预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：

(a?b)4?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)???a4???a3b???a2b2???ab3???b4 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

呈现二项式定理——板书课题：

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)。

3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）

4、巩固应用

【例1】展开①(1?1416)②(2x?) xx

7【例2】①求(1?2x)的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求(x?19)的展开式中含x3项的系数。 x

变式：在二项式定理中，令a?1,b?x，得到怎样的公式？

122rrnn(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx

012rn思考：Cn?Cn?Cn???Cn???Cn??为什么？

12rnCn?Cn???Cn???Cn??

0n1n?1n?1n【例3】解决起始问题：8n?(7?1)n?Cn， 7?Cn7???Cn7?Cn

n前面是7的倍数，因此余数为Cn?1，故应该为星期二。

说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。

四、课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

篇二：人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)

二项式定理（第1课时）

一、内容和内容解析

内容：二项式定理的发现与证明．

内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．

由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．

二、目标和目标解析

目标：

（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．

（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．

（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．

目标解析：

（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．

（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．

（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．

基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．

三、教学问题诊断分析

1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．

2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)展开式中项与项的异同点，得出(a?b)n的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．

3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对(a?b)3的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．

基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．

四、教学策略分析

本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI-图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．

在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．

在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．

五、教学过程与设计

篇三：二项式定理(教学实录)

二项式定理（教学设计）

1.教材分析

1.1教材内容

《二项式定理》是高中第二册下（A）最后一章的内容。 本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课的主要内容是二项式定理及其推导方法、二项式展开式的有关特征和简单应用。

1.2地位与作用

二项式定理是《二项式定理》这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目。.

通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，感受体验数学美.。

1.3重点、难点

重点：二项式定理、二项展开式和通项公式。

难点：二项式定理的正确应用。

2.教学目标

2.1知识目标 掌握(a?b)的展开式 及其推导方法、二项式展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题。

2.2能力目标 揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，领悟从特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳能力，抽象思维能力和逻辑思维能力。

2.3 感情目标 对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美.

3.教学方法

3.1教法 本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度。

3.2学法 采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律。

4.教学过程与自我评述（以下T为教师，S为学生，C为电脑显示）

4.1复习引入

C,T：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个n

球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

4S,C：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：C0(?C4)；取一4

2个白球（1白3红）：C1

4(?C3：C2)；取2个白球（2白2红）(?C4)；取344

10个白球（3白1红）：C3：C4(?C4)；取4个白球（无红球）(?C4)。 44

T：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开?a?b??a?b??a?b??a?b?，展开式中有哪些项？各项系数是什么？

S：都不取b(a4)；取1个b(a3b)；取2个b(a2b2)；取3个b(ab3)；取4个b(b4)，各项系数分别是C0，C1

4，C2，C3，C4 4444

T：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，(a?b)4的乘法抽象一点.

1322234434T,C：(a?b)4＝C0ab?ab?ab?a?b CCCC44444

＝a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4

评述：求(a?b)4的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到(a?b)4的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础。

4.2点明课题

T：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及(a?b)4的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式.

T,C：(a?b)2?a2?2ab?b2

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

(a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4

??

(a?b)n??

4.3 猜想二项式定理

T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.

1234S,C：(a?b)4 —— C0，，，， CCCC44444

024 (a?b)5 —— C5，C15，C5，C3，C5，C5 55

T： 你能猜想(a?b)n展开式的系数吗？

S,C：(a?b)n —— C0，C1

n，C2 ?? Cn nnn

C： 2. 关于字母及其幂指数的规律

T： 同学们通过观察(a?b)4展开式，能否发现a、b的结构规律？

S： a的指数由4逐一减少到0；而b的指数内0逐一增加到4. 每一项a、b的指数和都是4，即a4，a3b，a2b2，ab3，b4.

T： 据此，请说出(a?b)5的展开式.

0512345S,C：(a?b)5?C5a?C5a4b?C5a3b2?C5a2b3?C5ab4?C5b5

T： 那么在(a?b)n的展开式中，大家能猜想出a、b的指数规律吗？

S,C：a、b的指数规律——a的指数，从n逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；b的指数，从0逐一增加到n，且等于组合数的上标. 每一项a的指数与b的指数之和等于n.

T： 牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理.

S,C：猜想：

(a?b)n?Cnan?0n?1n?22n?vvCnab?Cnab????Cnab????12vCnnbn.

评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.

4.5 对公式的再认识

T,S,C：1.通项公式：Tr?1?Crnan?rbr

2.规律：（1）项数：n?1项

（2）二项式系数：Cr

n，即C0，C1n，??，Cn，与nn

首末等距离的两项的二项式系数相等.

（3）a、b的指数（略）

4.6 公式的初步应用【学生练习】

1.写出(1?q)7的展开式（解略）

2.写出(1?x)n的展开式（略）

3.写出(a?b)n的展开式（略）

4.求(2a?3b)b展开式中的第3项

2解：T3?C6(2a)4(3b)2?15(16a2)(9b2)?2160a4b2

5.求(3b?2a)b展开式中的第3项

2解：T3?C6(3b)4(2a)2?15(81b4)(4a)?4860a2b4

T： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？ S： 公式中的a、b不能互换.

T： 对. 求整个展开式，a、b可以互换，但求某一项时，a、b不能互换。.

T： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？

S： 15，2160. 两者不同.

T： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别。.

4.7 小结

T,C：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理。

2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想。

3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.

4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美。

4.8 作业（略）

《二项式定理教学》出自：创业找项目
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