牛顿二项式定理
篇一：牛顿二项式扩充定理
牛顿二项式扩充定理 设函数F(x)?
f(x)
2
3
n
f(x)?a0?a1x?a2x?a3x?......?akx
2
3
k
F(x)?(a0?a1x?a2x?a3x?......?akx)
根据牛顿二项式定理 F(X)的任意一项为
n?m
mn
2
3
kn
a0C(a1x?a2x?a3x?......?akx)
n?m
km
整理得： （1）a0
C(a1?a2x?a3x?......?akx)x
pm
2
k?2p
mn
2k?1mm
同理（1）式（）上式中任意一项为： （2）a
m?p1
C(a2?a3x?a4x?......?ak?1x)x
p
同理（2）式（）上式中任意一项为：
p?qq2k?3qqaC(a?ax?ax?......?ax)x p234k?2 2
如此类推： 我们预知 最后一项为
joj
2
k?200
joj
arC(ar?1?ar?2x?ar?3x?......?ak?1x)x?arC
依次代入上式我们得出：x个系数为
m?p?q?.....?j?0
的其中一
0j
a0
n?m
a
m?pp?q12
a
.....ar
j?0
CCC....C
m
npmqp
设M=m+p+q+……+J+0 那么
x
M
的其中一个系数为
a0
设那
n?m
a
m?pp?q12
a
.....arCCC....C
j
m
npmqp
0j
x
M
项的系数为CM 的为所有系数之和则有：
n?m
x
M
CM??a0
a
m?pp?q12
a
.....arCCC....C
j
m
npmqp0j
推导得
篇二：浅谈二项式定理及其应用
欧阳志强
┊
（伊犁师范学院数学与统计学院09-2A班 新疆 伊宁 835000） ┊
┊ ┊ ┊ 摘 要：二项式定理是初等数学中的一个重要的定理, 在高等数学中更是许多重要公┊
┊ 式的共同基础．本文主要讨论了二项式定理在解决组合理论、开高次方，以及不等式问题┊
等方面的应用． ┊ ┊ 关 键 词：二项式定理；不等式；展开式 ┊
中图分类号： O122.4文献标识码：A ┊
┊
装
┊ 一 引言 ┊ ┊ 二项式定理的应用非常广泛, 也很重要, 主要表现在两个方面: 一是它所揭示的方┊
┊ 法富有启发性; 二是它与高等数学联系紧密.学习与掌握它, 既有利于培养学生联想和抽订
象思维的能力, 也有利于其今后进一步的学习. ┊ ┊ 二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪┊
《详解九章算法》（1261）之中.┊ 所首创.它记载于杨辉的
┊
在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》（1427）中也线
┊ 给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾┊
┊ 宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527┊
┊ 年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕┊
斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果. ┊ ┊ 杨辉-贾宪三角┊
而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前夕，牛顿就┊
┊
开始了二项式定理的研究，值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的┊
┊ 情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一
浅谈二项式定理及其应用
封信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直接的方法来使用.
随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一.
二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其
踪影. 二 预备知识
二项式定理：
理解二项式定理应注意：
.
（1）二项式中，a是第一项，b是第二项，顺序不能变； （2）展开式中有n?1项(比指数多1)； （3）Cn,Cn,
1
n,Cn是二项式系数；
（4）a的指数降幂，b的指数是升幂，两者的指数的和等于n； （5）二项式展开时要注意各项的符号规律； （6）注意二项式定理的可逆性.
二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质：
n
性质一 ?a?b?的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
mn?m
Cn?Cn.
性质二 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，
mm?1mCn?Cn?Cn?1.
n
01
性质三 ?a?b?的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即Cn?Cn?
（令a?b?1即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）.
n
性质四 ?a?b?的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的
02
和，即Cn?Cn?
2r?Cn?
13
?Cn?Cn?
2r?1
?Cn?
得）.
n
性质五 ?a?b?的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大
n
n?1
n?1
值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
nn
?Cn?2n.
?2n?1.（令a?1,b??1即
了解了二项式定理的特点与性质的同时，也要学会如何合理的应用二项式定理，下面
则介绍一些二项式定理在高中数学题中的应用.
三 二项式定理的应用
3.1 二项式定理可计算展开式问题
┊
3.1.1二项式定理可计算展开式中的系数
┊
6┊
??┊ 例1
?的展开式中x2的系数为（2011年高考天津卷理科5） ?┊ ?2
┊
151533┊
A.?B. C.? D.
┊ 4884┊
6?11
┊ ?32?1
T?C????x， 解：因为?26??┊ 8?2??┊
┊ 3
所以x2的系数为?. 装
8┊
┊ 例2 在的展开式中，含的项的系数是（）.┊
┊ （2005年浙江卷） ┊
A.74B.121 C.-74 D.121 订
┊
解：由等比数列求和公式得：
┊ ┊ ┊ 原式. ┊ 线 ┊ 要求展开式中的项的系数.即求中的的系数与中的系数的 ┊
4┊
差.而中含的项为T5?C54?1???x??5x4，中含的项为
┊ ┊ 4454
T?C?1??x?126x， ??59┊
┊
所以在的展开式中，含的项的系数是 ┊
┊
5-126=-121.
┊
21┊
例3 设?x?1??a0?a1x?a2x2??a21x21，则a10?a11? .（2011年高考安
┊ ┊
徽卷理科12）
120219x?C21x?解：因为?x?1??x21?C21
21
02019
则a0??C21，a1?C21，a2??C21，
20
?C21x?1，
121，a20??C21，a21?C21，
1110
故a10?a11??C21， ?C211110 又因为C21， ?C21
所以a10?a11?0.
n
11??
例4 （1）若?x??的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2
xx??
的系数为 ；（2012高考真题全国卷理15）
1??
（2）求?2x??的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.
x??
26
解：（1）因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即Cn?Cn，所以
4
1?k8?2k
n?6?2?8，所以展开式的通项为Tk?1?C8k?x8?k?????C8x，
?x?
5?1? 令8?2k??2，解得k?5，所以T6?C8???， ?x?
2
k
所以
1
C5?56. 2的系数为8
x
012344
（2）该展开式的各项二项式系数和为：C4?C4?C4?C4?C4?2?16.
令二项式中变量x?1，得各项系数之和为34?81.
小结：二项式的考查注重基本概念，尤其是二项式系数和系数的相关问题.而解决此类问题的关键是正确认识它们的本质区别.两者本质差别在：展开式中第r?1项的二项式系数是
rCn?r?0,1,2,
,n?，而第r?1项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正
负）.特别提醒：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.求展开式中系数最大的项需先判断各项系数的正、负情况，再列不等式组求解.（2）各项二项式系数和总是
01Cn?Cn?
n
?Cn?2n；而各项系数和是令展开式中各变量都为1时所得的值.
3.1.2二项式定理可求展开式中的特定项
5
例5 若将函数f?x??x表示为f?x??a0?a1?1?x??a2?1?x??
2
?a5?1?x?，其中
5
a0,a1,a2,,a5为实数，则a3?.
解：方法一：根据等式两边对应的系数相等.
a5?1?
?4
?a3?10. 即?C5a5?a4?0 ?C3a?C1a?a?0
443?55
25
f?x??x5?a0?a1?1?x??a2?1?x???a5?1?x?两边连续对x求导 方法二：对等式
┊ 22
60x?6a?24a1?x?60a1?x三次，得到， ????345┊
┊
┊ 再运用赋值法，令x??1，得到60?6a3， ┊
┊ 即a3?60?6?10. ┊ 5
1??2┊ 例6 x?2?2?1?的展开式中常数项为（）.（2012高考真题安徽理7）
┊ ?x?┊
A.-3 B.-2 C.2D.3 ┊
┊
1412
┊ 解：由题意可知，当第一个因式取x时，第二个因式就取2，得到1?C5??1??5，
x装
┊ 55
?1?，得到2???1???2， 当第一个因式取2时，第二个因式取?┊
┊
所以展开式的常数项是5???2??3. ┊
┊ 12
订 例
7的展开式中，含x的正整数幂的项数共有（）.（2005年浙西卷） ┊
12?rrr┊ 12?rr?6?
rrr解：设展开式中r?1项的幂为正整数，
则Tr?1?C12?C12x23?C12x6. ┊
┊
依题意，r是6的倍数，且0?r?12，所以r共有3个值.
┊
线 12
┊ 即的展开式中，含x的正整数幂的项数共有3个. ┊ ┊ 小结：在求展开式中某个特定项时，主要是考察二项式定理，写出二项展开式的通项┊
┊ 公式是解决这类问题的常规办法，首先要知道特定项都有哪些特点，在根据题意将这些特┊
点带入式子中.例如常数项就是x的指数为0，而有理数就是x的指数为整数. ┊ ┊ 3.2二项式定理可解决整除或余数问题 ┊ ┊ 3.2.1二项式定理可解决整除问题 ┊
n
┊ 例8 证明：?n?1??1能被n2整除. ┊
??
n1n?12n?2
证明：因?n?1??n?Cnn?Cnn?
n
n?Cn则
?n?1?
n
1n?12n?2
?1=nn?Cnn?Cnn?
?n2.
由二项式定理的性质知，n的指数是自左向右逐项递减1的，易见上式n的最低
篇三：二项式定理
二项式定理
二项式定理
binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+??+Cnna^0b^n
此定理指出：
1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C(r∈{0，1，2，??，n})叫做二项式系数。 等号右边的多项式叫做二项展开式。
2、二项展开式的通项公式（简称通项）为C(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形
二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。（a+b)n的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
??????????????????????
（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）
发现历程
在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。
杨辉三角
1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。
应用
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
排列与组合
1、Cn0+Cn1+Cn2?+Cnk+?+Cnn=2^n
2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+??（-1）^nCnn=0
3、Cn0+Cn2+Cn4+??=Cn1+Cn3+Cn5+??=2^(n-1）
证明：由（a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1）a^(n-1）*b+C(n,2）a^(n-2）*b^2+...+C(n,n)b^n
当a=b=1时，代入二项式定理可证明1
当a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2
由①+②得：2（Cn0+Cn2+Cn4+??）=2^n
所以 Cn0+Cn2+Cn4+??=2^(n-1）
由①-②得：2（Cn1+Cn3+Cn5+??）=2^n
所以 Cn1+Cn3+Cn5+??=2^(n-1）
可知 Cn0+Cn2+Cn4+??=Cn1+Cn3+Cn5+??=2^(n-1）可证明3
⒋组合数的性质：
⑴：C(m，n)=C（n-m，n）
⑵：C（m，n+1）=C（m，n）+C(m-1，n)
⑶：C（0，n）=C（n，n）=1
二项式定理
二项式定理： 叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且，注意项的系数和二项式系数的区别。
二项式定理的通项公式
Tr+1=C（n，r）a^（n-r）b^r
系数性质
①对称性：
②增减性和最大值：先增后减
n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1
n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1）/2，T[(n+1）/2+1]
赋值法
掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是）a^k*b^(n-k）的形式。对于每一个a^k*b^(n-k），是由k个（a+b）选了a，（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个（a+b）选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和：
2的n次方
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的（n-1）次方
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
形式为
注意：|x|<1
（a+b)^n=C(0,n)a^n+C（1,n)a^(n-1）*b+C（2,n)a^(n-2）*b^2+...+C(n,n)b^n
二项式的递推
推广公式
二项式展开后各项的系数依次为：图——推广公式
其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为
这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由自然数到实数的递推。 （推广公式中k>α时此项为0）
加法定理
来自二项式性质
将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，
则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的
加法式. 如
这里，⑴相加两数和是“下标相等，上标差1”
的两数；⑵其和是“下标增1，上标选大”的组合数.
一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑
两数”的结果为组合的加法定理：
有了组合的加法定理，二项式（a+b）展开式的证明就变得非常简便了.
数形趣遇 算式到算图
二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.
【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
?? 15 20 15 6 ?
1 ?? 35 35 21 ??
? 70 56 ?
图上得到=70，==56.
故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42
【点评】 “式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<,/o:p>
杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行： 1，6，15，20，15，6，1
那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.
杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
利用二项式推出牛顿切线法开方
开立方公式：
公式来源《数学传播》136期
设A = X^3，求X.称为开立方。开立方有一个标准的公式：
X(n+1）=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）
例如，A=5，，即求
5介于1的3次方；至2的3次方；之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9）1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，
1.9+(-0.1716528）=1.7。即取2位数值，，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7）1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71）1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709）1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。1.8，1.9中的任何一个，都是X1 = 1.7 >；；。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
X(n + 1） = Xn + (A / Xn-Xn)1 / 2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方；之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。第一步：2.5+（5/2.5-2.5）1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25）=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+（5/2.2-2.2）1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。
第三步：2.23+（5/2.23-2.23）1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
A=(X±Y)^n=展开。带入公式就是开方公式。X(n+1）=Xn+(A/X^（k-1）-Xn)1/k=Xn-f（x）/f‘（x）。 f'（x）=kx^(K-1）；f(X)=X^K-A。 即牛顿切线法
就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。
证明
== 证明 ==
===[[数学归纳法]]===
当<math>n=1</math>；；，
：<math> (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b</math>
《牛顿二项式定理》出自：创业找项目链接地址：http://m.gjknj.com/duwu/5204.html 转载请保留,谢谢!
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