二项式定理展开式

篇一：二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结

1．二项式定理公式：

0n1n?1rn?rrnn

(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。

r

(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn

③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rr

④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cnaab叫做二项式展开式的通项。

rn?rr

b表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。

各项的次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.

项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

0122rrnn令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0nkk?1

Cn?Cn,·Cn?Cn

012rn

②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn ?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123nn

在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn????(1)C(11)?n0n??0242r132r?1

?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????从而得到：Cn

，

1n

?2?2n?1 2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22n0n

(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0

?x?1, ?a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n???????????x??1,?a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n?????????(a?1)n?(a?1)n????,a0?a2?a4??an?(???????)

2

(a?1)n?(a?1)n

????,a1?a3?a5??an?(???????)

2

⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?Tn取得最大值。

2?1n?12,n

n?1

2n

n2n

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Tn

2

?1

?CC

?Tn同时取

2?1

n?1n?1

得最大值,且C2n?C2n

。

⑥系数的最大项：

求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

n

r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第

?Ar?1?Ar

，从而解出r来。

A?A?r?1r?2

篇二：二项式定理(习题含答案)

二项式定理

一、 求展开式中特定项 1

、在30

的展开式中，x的幂指数是整数的共有（） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【答案】C

r

【解析】Tr?1?C30?

x?

30?r

15?r?1?r6

??，r?0,1,2......30，若要是幂指数是????C30?x?x?

r

5

整数，所以r?0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．

1

3、若(x2?3)5展开式中的常数项为．（用数字作答）

x

【答案】10

【解】由题意得，令x?1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n?32，解得n?5，所以(x2?

15r10?5r2

，当r?2时，常数项为C5?10， )展开式的通项为Tr?1?C5x3

x

4

、二项式)8的展开式中的常数项为． 【答案】112

【解析】由二项式通项可得，Tr?1?C(x)

r8

8?r

?r

rrr

(?)?(?2)C8x（r=0,1,,8）,显然x

2x

当r?2时，T3?112，故二项式展开式中的常数项为112.

1

)(1?3x)4的展开式中常数项等于________． x

【答案】14．

1r

2【解析】因为(2?)(1?3x)4中(1?3x)4的展开式通项为Cr4(?3x)，当第一项取时，

x

1

2?，此时的展开式中常数为；当第一项取时，C1C0?144(?3x)??12，此时的展开

x

式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．

5、(2?6、设a?

?

?

??2x?，则sinx?1?2cosdx?x2?2的展开式中常数项是． ???2???

6

??

【答案】??332 332a?

?

?

?2

?sinx?1?2cos?

??x?

?dx??

0?sinx?cosx?dx?(?cosx?sinx)0?2，2?

(

66

?的展开式的通项为

r

Tr?1?C66?r(rr

?(?1)r?26?rC6?x3?r，所以所求常数项为35

??332． T?(?1)3?26?3C6?2?(?1)5?26?5C6

二、 求特定项系数或系数和

7

、(x)8的展开式中x6y2项的系数是（）

A．56 B．?56 C．28 D．?28

【答案】A

r8?r2

【解析】由通式C8令r?2，则展开式中x6y2项的系数是C8 x(?2y)r，(?2)2?56．

8、在x（1+x）的展开式中，含x项的系数是． 【答案】15

rr2

【解】?1?x?的通项Tr?1?C6x，令r?2可得C6?15．则x?1?x?中x3的系数为15.

6

6

63

9、在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x3的项的系数是． 【答案】-55

32【解析】(1?x)6?(2?x)的展开式中x3项由2C6(?x)3和（-x）?C6(?x)2两部分组成，32所以x3的项的系数为-2C6?C6??55． e10、已知n??1

6

13ndx，那么（x?）展开式中含x2项的系数为．

xx

6

【答案】135

e

【解析】根据题意，n??1

3n1e6

（x?）dx?lnx|1?6，则中，由二项式定理的通项公式

xx

rn?rrr6?r

Tr?1?Cnab，可设含x2项的项是Tr?1?C6x(?3)r，可知r?2，所以系数为2

． C6?9?135

11、已知?1?x??a0?a1?1?x??a2?1?x??L?a10?1?x?，则a8等于（）

A．－5 B．5C．90 D．180

101082

a(1?x)?(?2?1?x)C(?2)?45?4?180.选Ｄ． 810【答案】D因为，所以等于

10210

12、

在二项式1n

x)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n?________；2

展开式中的第4项＝_______． 【答案】8，?7x．

(n?r)(2n?r)1r21r1rr33

?x?Cn(?)x【解析】由二项式定理展开通项公式Tr?1?C(?)x，由题

22

rn

193

19

(16?3)131

??7x3．意得，当且仅当n?4时，C取最大值，∴n?8，第4项为C(?)x3

2

rn38

13、如果(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，那么a0?a1???a7的值等于（） （A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2 【答案】A

【解析】令x?1，代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，得(1?

7

2?)a0?a1?a2??

x?令?代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，a?1?0，7，

得(1?0)7?a0?1，所以1?a1?a2???a7??1，即a1?a2???a7??2，故选A． 14、（

﹣2）7展开式中所有项的系数的和为

【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16

、在1

3)n(n?N*)的展开式中，所有项的系数和为?32，则的系数等于．

x1

的项就是x

【答案】?270

【解析】当x?1时，?-2???32，解得n?5，那么含

n

?1?13

??C52?????3??270，所以系数是-270. ??x?x?

17、设k?

2

?

?

(sinx?cosx)dx，若(1?kx)8?a0?a1x?a2x2???a8x8，则

．a1?a2?a3????a8? ?【答案】0.

【

?

解

?

析】由

k??(sinx?cosx)dx?(?cosx?sinx)

?(?cos??sin?)?(?cos0?sin0)?2，

令x?1得：(1?2?1)8?a0?a1?a2???a8，即a0?a1?a2???a8?1 再令x?0得：(1?2?0)8?a0?a1?0?a2?0???a8?0，即a0?1 所以a1?a2?a3?????a8?0

18、设（5x﹣）的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 . 【答案】150

解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0. 解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x﹣5？令4﹣

4﹣r

n

）的展开式的通项公式为 Tr+1=．

n

？（5x）？（﹣1）？

4﹣rr

=（﹣1）？

r

？

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）？

r

？5

4﹣r

=1×6×25=150，

19、设(1?x)8?a0?a1x???a7x7?a8x8，则a1???a7?a8?． 【答案】255

【解析】a1???a7?a8??a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以令x??1，得到28?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8?28-a0?256?1?255 三、 求参数问题

20

、若的展开式中第四项为常数项，则n?（） A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【解析】根据二项式展开公式有第四项为T4?C(x)为常数，则必有

3n

n?3

n

(

12x

)?C2x

3

3n

?3

n?52

，第四项

n?5

?0，即n?5，所以正确选项为B. 2

21、二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中x2的系数为15，则n? （） A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】B

k

【解析】二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中的通项为Tk?1?Cn?xn?k，令n?k?2，得n?22k?n?2，所以x2的系数为Cn?Cn?

n(n?1)

?15，解得n?6；故选B． 2

22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2

333rr4?r

【解析】∵Tr+1=C4∴当4?r?3，即r?1时，T2=C1ax，4ax?4ax?8x,?a?2．

23、若?1?x??1?ax?的展开式中x2的系数为10，则实数a?（） A

1B．?或1 C．2或? D

．B．

【解析】由题意得(1?ax)4的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式

rrrTr?1?C4ax，

221∴C4a?C4a?10?a?1或?，故选B．

4

5

353

53

24、设(1?x)?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n

?a0?a1x?22ax?n?n??，a?当x

a0?a?an?254时，n等于（） 1a?????2

A．5B．6C．7D．8

【答案】C．【解析】令x?1，

2(2n?1)

?2n?1?2?254?n?1?8?n?7，故选C． 则可得2?2?2?????2?

2?1

2

3

n

四、 其他相关问题

25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7

【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵2015=20162012+…+故2015

2015

20152015

=？2016，

2015

﹣？2016+

2014

？2016﹣

2013

？

？2016﹣

除以8的余数为﹣=﹣1，即2015

2015

除以8的余数为7，

篇三：二项式定理解题技巧

二项式定理

1．二项式定理：

0n1n?1rn?rrnn

(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn

r

n

(r?0,1,2,???,n).

③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括

二项式系数）。

4．常用的结论： 令a

0122rrnn

?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?)

n

0122rrnn

?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)

1

2

r

n

rn?rrrn?rr

?1项Cnab表示。 ab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cn

nn

令a?1,b??x, (1?x)5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn②二项式系数和：令a

nkk?1

，···Cn?Cn ?Cn

012rn

?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，

1

2rn

?Cn???Cn???Cn?2n?1。

变形式Cn

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令a从而得到：Cn

0123n?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn?(1?1)n?0，

242r132r?1

?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????

1n

?2?2n?1 2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22n0n

(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0

令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?(奇数项的系数和)

2

(a?1)n?(a?1)n

①?②得,a1?a3?a5??an?(偶数项的系数和)

2

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C

n

n?12nn2n

,C

n?12n

同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为

?A?Ar

，从而解出r来。 A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有?r?1

?Ar?1?Ar?2

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例：Cn

1

23n?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?

n

0123n

?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，

解：(1?6)

123n

?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?

112n

(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 6

1011n122nnn

?(Cn?Cn?6?Cn?6???Cn?6?1)?[(1?6)?1]?(7?1)

666

1

23n?3Cn?9Cn???3n?1Cn? 123n

，则?Cn?3Cn?9Cn???3n?1Cn

练：Cn

解：设Sn

12233nn012233nn

3Sn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?1?(1?3)n?1

(1?3)n?14n?1

?Sn??

33

题型二：利用通项公式求x的系数；

n

例：在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ 2

?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由

解：由条件知Cn

n?2

Tr?1?C(x)

3

r10

?

1

410?r

(x)?Cx

23r

r10

?

10?r2

?r43

，由题意?

10?r2

?r?3,解得r?6， 43

则含有x的项是第7项T6?1

练：求(x

2

63

?C10x?210x3,系数为210。

19

)展开式中x9的系数？ 2x

1r11r29?r

解：Tr?1?C9(x)(?)?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3

2x22132139

故x的系数为C9(?)??。

22

?

题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式(x

2

10的展开式中的常数项？

解：Tr?1

?C(x)

r

10

210?r

r4551r20?58182，令20?()?r?0，得r?8，所以T9?C10 ?C()x

225622r

r

10

16

)的展开式中的常数项？ 2x

1rr6?rrr6?r1r6?2r33)?(?1)rC62()x解：Tr?1?C6(2x)(?1)(，令6?2r?0，得r?3，所以T4?(?1)C6??20 2x2

1n2

练：若(x?)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.

x42n?41442n?12

()?Cnx解：T5?Cn(x)，令2n?12?0，得n?6. x

练：求二项式(2x?

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式9展开式中的有理项？

1

29?r

解：Tr?1

?C(x)

r9

(?x)?(?1)Cx

13r

r

r9

27?r6

，令

27?r

?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 6

27?r34

?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93

?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6

所以当r

?3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：若n展开式中偶数项系数和为?256，求n.

解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,

令x

??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②

将①-②得：2(a1?a3 有题意得，?2

n?1

?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1,

??256??28，?n?9。

练：若n

的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 0

242r132r?1?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?11

解：?Cn

61

?65?415 所以中间两个项分别为n?6,n?

7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x

5n

题型六：最大系数，最大项； 例：已知(

少？ 解：?Cn

4

65?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数最大的项是

1

?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多2

3531434134

()2?,，T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数最大T4和T5?T4的系数?C7

2227177

的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。

2

练：在(a?b)

2n

的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n

2

?1

?Tn?1，也就是第n?1项。

练：在(

xn

的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2n1

?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()2?7 22

解：只有第5项的二项式最大，则

7

例：写出在(a?b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4

的系数最小，T5

434

?C7ab系数最大。

343

??C7ab

1

?2x)n的展开式中系数最大的项？ 2

11121212012

解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，?(?2x)?()(1?4x)

22

例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(

rrr?1r?1

??Ar?1?Ar?C124?C124

????rr，化简得到9.4?r?10.4，又?0?r?12，?r?10，展开式中系数最

r?1r?1

?Ar?1?Ar?2??C124?C124

大的项为T11,有T11

1101010

?()12C124x?16896x10

2

练：在(1?2x)的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，?Tr?1

r?C10?2rxr

10

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102

????rr解得，化简得到6.3?k?7.3，又?0?r?10，?r?1r?1

A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,

777?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C102x?15360x7.

题型七：含有三项变两项； 例：求当(x解法①：(x

2

?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？

r

?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的展开式中才有x的

1144

?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次项为C5C423x 4

4

2

一次项，此时Tr?1

1

它的系数为C5C42

解法②：(x

2

3?240。

05145051455

?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)

故展开式中含x的项为C5xC52练：求式子(

455

4

?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.

x?

1

?2)3的常数项？

x

解：(x?

1166?r6?2rrr

，得(?1)rx()r?(?1)6C6x?2)3?，设第r?1项为常数项，则Tr?1?C6

xx3

6?2r?0,r?3, ?T3?1?(?1)3C6??20.

题型八：两个二项式相乘； 例：求(1?2x)解：?(1?2x)

3

(1?x)4展开式中x2的系数.

3

mm

的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,

nnnn

(1?x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4, 4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1

令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4

021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.

练：求(16(110

展开式中的常数项.

mn4m?3n

?10m3nmn

解：(1(1展开式的通项为C6x?C10x4?C6?C10?x12

6

《二项式定理展开式》出自：创业找项目
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